Problemas de mecánica lagrangiana

1
Nivel
Segundo ciclo
Dificultad
3
 

Dos partículas de masa , unidas mediante un muelle de constante elástica y longitud natural despreciable, giran con velocidad angular constante con respecto a un eje vertical que pasa por el centro de masas del sistema. Las partículas se mueven sobre un plano horizontal sin rozamiento. Determine:

1.El Lagrangiano del sistema.

2.Las correspondientes ecuaciones de Lagrange.

3.La integral de Jacobi.

Solución disponible
José Adrián C M
 
2
Oscilador armónico multidimensional
Nivel
Segundo ciclo
Dificultad
4
 

Considera un oscilador armónico multidimensional, dado por el potencial

(1)

Encuentra el lagrangiano, los momentos conjugados y el hamiltoniano del sistema. Utiliza coordenadas rectilíneas.

Solución disponible
pod
 
3
Nivel
Segundo ciclo
Dificultad
5
 

Considere el sistema formado por la masa que puede deslizar libremente sobre una recta horizontal, y unida mediante una varilla rígida y sin masa a M,pudiendo girar libremente en un plano vertical.


Figura 1.

1.Obtenga la Lagrangiana de este sistema.

2.Determine las integrales primeras de movimiento.

3.Suponga ahora que se impone una velocidad constante a y discuta la existencia de integrales primeras.

Solución disponible
José Adrián C M
 
4
Nivel
Segundo ciclo
Dificultad
5
 

Un disco uniforme de masa y radio lleva adherida una masa a una distancia a de su centro. Si el disco puede rodar sin deslizar sobre un plano horizontal, determine la frecuencia de las pequeñas oscilaciones alrededor de la posición de equilibrio. El plano que contiene al disco es vertical.

Solución disponible
José Adrián C M
 
5
Masa entre dos muelles
Nivel
Segundo ciclo
Dificultad
7
 

Tenemos una masa unida a un muelle de constante recuperadora , cuyo otro extremo esta fijado a un punto. Otra masa está unida a la primera masa mediante otro muelle de constante . Todos los muelles cumplen la ley de Hooke. Ambas masas están obligadas a moverse en una única dirección.

1.Justifica cuantos grados de libertad tiene este sistema. Razona cuales son las coordenadas generalizadas más adecuadas para estudiarlo.

2.Escribe el lagrangiano del sistema.

3.Escribe el hamiltoniano del sistema.

4.Identifica las cantidades conservadas del sistema.

5.Obtén las ecuaciones del movimiento en el espacio de configuración (formulismo lagrangiano).

6.Desacopla y resuelve las ecuaciones del movimiento para el caso y . Aplica la solución general al caso en que las dos masas parten del reposo, la primera en el equilibrio y la segunda desplazada una distancia de su posición de equilibrio.

Solución disponible
pod
 
Apartado 1. Grados de libertad

Tenemos dos masas que se pueden mover en una dimensión. No tenemos ninguna ligadura que nos disminuya el número de grados de libertad, por lo tanto seguimos teniendo dos de ellos.

Siempre que tenemos muelles, las coordenadas generalizadas más útiles son las desviaciones respecto de las posiciones de equilibrio de cada una de las dos masas, .

Apartado 2. Lagrangiano

La energía cinética total del sistema no será más que la suma de las energías cinéticas de cada masa,

(1)

De la misma forma, la energía potencial total será igual a la suma de las energías potenciales de cada muelle. Según la ley de Hooke, la energía potencial de un muelle con constante que se ha desviado de su posición de equilibrio una distancia es de la forma

(2)

El primer muelle se estira (o encoje) según . Mediante un sencillo diagrama es sencillo darse cuenta que la elongación del segundo muelle vendrá dada por . Por lo tanto, la energía potencial total será

(3)

Finalmente, el lagrangiano será

(4)
Apartado 3. Hamiltoniano

El primer paso para obtener el hamiltoniano es calcular los momentos conjugados,

(5)

de donde obtenemos . Así, pues, el hamiltoniano del sistema será

(6)

aplicando la expresión de las velocidades generalizadas, el hamiltoniano queda de la forma

(7)
Apartado 4. Cantidades conservadas

Como las dos coordenadas generalizadas aparecen explícitamente en el lagrangiano y el hamiltoniano, ninguno de los dos momentos generalizados es una constante del movimiento.

Por otra parte, tanto el lagrangiano como el hamiltoniano no dependen explícitamente del tiempo, por lo que la energía (que, numéricamente, equivale al hamiltoniano) es la única constante del movimiento.

Apartado 5. Ecuaciones del movimiento

Para obtener las ecuaciones del movimiento necesitamos tan sólo aplicar las ecuaciones de Lagrange,

(8)

Para la primera coordenada generalizada tenemos

(9)

con lo cual, la primera ecuación del movimiento es de la forma

(10)

Realizamos el mismo proceso para la segunda coordenada generalizada,

(11)

y, por tanto, la segunda ecuación es

(12)

Observemos que las ecuaciones del movimiento pueden escribirse conjuntamente utilizando el lenguaje matricial,

(13)
Apartado 6. Resolución de las ecuaciones

La matriz de coeficientes del sistema, en el caso pedido, puede escribirse de la forma

(14)

Los valores propios de esta matriz son

(15)

Los vectores propios (modos normales) que diagonalizan la ecuación son

(16)

Los modos normales cumplen la ecuación del oscilador armónico desacoplado, con frecuencia ,

(17)

cuya solución es de la forma

(18)

Para obtener la solución del sistema en las coordenadas originales necesitamos invertir la definición de los modos normales, (16). El resultado final es

(19)

Por último, tenemos que aplicar las condiciones iniciales. Dado que ambas masas parten del reposo, su velocidad para debe ser nula. Dado que, al derivar, todos los términos quedaran en función de senos, vemos inmediatamente que . La condición inicial para la velocidad se convierte en el siguiente sistema de ecuaciones lineales,

(20)

que se puede solucionar mediante los métodos usuales. El resultado final es el siguiente,

(21)
6
Péndulo doble
Nivel
Segundo ciclo
Dificultad
7
 

La masa de la figura siguiente esta unida a un punto fijo con una vara de longitud fija , de forma que puede girar libremente respecto del punto fijo. De la misma forma, la masa esta unida a la anterior por otra vara rígida de longitud que puede girar libremente, independientemente de la posición de la primera vara. Consideramos que las dos masas pueden moverse tan sólo dentro del plano del papel.

Péndulo doble
Figura 1. Péndulo doble

1.Justifica cuantos grados de libertad tiene este sistema. Escribe las ecuaciones que relacionan las posiciones y con las coordenadas generalizadas más adecuadas para describir el sistema.

2.Escribe el lagrangiano del sistema.

3.Escribe los momentos conjugados.

4.Identifica las cantidades conservadas del sistema.

5.Obtén las ecuaciones del movimiento en el espacio de configuración (formulismo lagrangiano).

6.En la aproximación de ángulos muy pequeños, el péndulo simple se reduce a un oscilador armónico. Demuestra que, en esta misma aproximación, el péndulo doble se reduce al doble oscilador del problema anterior. ¿Cuál es la relación entre las coordenadas generalizadas de ambos sistemas?

Solución disponible
pod
 
7
Nivel
Segundo ciclo
Dificultad
8
 

Considere el sistema de la figura, donde la masa kg está obligada a moverse verticalmente según el eje y, mientras que m kg está obligada a moverse según el eje x, ambas bajo la acción de dos muelles de constantes recuperadoras N/m y N/m, además de la gravedad (Considere la longitud en reposo de los muelles nula).


Figura 1.

1.Calcule la lagrangiana del sistema.

2.Obtenga las ecuaciones del movimiento para las masas.

3.Obtenga la solución general de las mismas y la posición de equilibrio.

4.Escriba la solución sabiendo que inicialmente se parte del reposo con m, m. Si m y m, determine la posición de las masas al cabo de segundos.

Solución disponible
José Adrián C M
 
8
Nivel
Segundo ciclo
Dificultad
8
 

Una varilla de longitud se encuentra fija por un extremo a un eje vertical. La varilla gira con velocidad angular alrededor de dicho eje. Determine el ángulo que la varilla forma con el eje.

Solución disponible
José Adrián C M
 
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