Problemas de mecánica lagrangiana
Dos partículas de masa 
, unidas mediante un muelle de constante elástica 
y longitud natural despreciable, giran con velocidad angular constante 
con respecto a un eje vertical que pasa por el centro de masas del sistema. Las partículas se mueven sobre un plano horizontal sin rozamiento. Determine:
1.El Lagrangiano del sistema.
2.Las correspondientes ecuaciones de Lagrange.
3.La integral de Jacobi.
Considera un oscilador armónico multidimensional, dado por el potencial
Encuentra el lagrangiano, los momentos conjugados y el hamiltoniano del sistema. Utiliza coordenadas rectilíneas.
Considere el sistema formado por la masa 
que puede deslizar libremente sobre una recta horizontal, y unida mediante una varilla rígida y sin masa a M,pudiendo girar libremente en un plano vertical.
1.Obtenga la Lagrangiana de este sistema.
2.Determine las integrales primeras de movimiento.
3.Suponga ahora que se impone una velocidad constante 
a y discuta la existencia de integrales primeras.
Un disco uniforme de masa y radio 
lleva adherida una masa a una distancia a de su centro. Si el disco puede rodar sin deslizar sobre un plano horizontal, determine la frecuencia de las pequeñas oscilaciones alrededor de la posición de equilibrio. El plano que contiene al disco es vertical.
Tenemos una masa 
unida a un muelle de constante recuperadora 
, cuyo otro extremo esta fijado a un punto. Otra masa 
está unida a la primera masa mediante otro muelle de constante 
. Todos los muelles cumplen la ley de Hooke. Ambas masas están obligadas a moverse en una única dirección.
1.Justifica cuantos grados de libertad tiene este sistema. Razona cuales son las coordenadas generalizadas más adecuadas para estudiarlo.
2.Escribe el lagrangiano del sistema.
3.Escribe el hamiltoniano del sistema.
4.Identifica las cantidades conservadas del sistema.
5.Obtén las ecuaciones del movimiento en el espacio de configuración (formulismo lagrangiano).
6.Desacopla y resuelve las ecuaciones del movimiento para el caso 
y 
. Aplica la solución general al caso en que las dos masas parten del reposo, la primera en el equilibrio y la segunda desplazada una distancia 
de su posición de equilibrio.
La masa de la figura siguiente esta unida a un punto fijo con una vara de longitud fija 
, de forma que puede girar libremente respecto del punto fijo. De la misma forma, la masa esta unida a la anterior por otra vara rígida de longitud 
que puede girar libremente, independientemente de la posición de la primera vara. Consideramos que las dos masas pueden moverse tan sólo dentro del plano del papel.
1.Justifica cuantos grados de libertad tiene este sistema. Escribe las ecuaciones que relacionan las posiciones 
y 
con las coordenadas generalizadas más adecuadas para describir el sistema.
2.Escribe el lagrangiano del sistema.
3.Escribe los momentos conjugados.
4.Identifica las cantidades conservadas del sistema.
5.Obtén las ecuaciones del movimiento en el espacio de configuración (formulismo lagrangiano).
6.En la aproximación de ángulos muy pequeños, el péndulo simple se reduce a un oscilador armónico. Demuestra que, en esta misma aproximación, el péndulo doble se reduce al doble oscilador del problema anterior. ¿Cuál es la relación entre las coordenadas generalizadas de ambos sistemas?
Considere el sistema de la figura, donde la masa 
kg está obligada a moverse verticalmente según el eje y, mientras que m
kg está obligada a moverse según el eje x, ambas bajo la acción de dos muelles de constantes recuperadoras 
N/m y 
N/m, además de la gravedad (Considere la longitud en reposo de los muelles nula).
1.Calcule la lagrangiana del sistema.
2.Obtenga las ecuaciones del movimiento para las masas.
3.Obtenga la solución general de las mismas y la posición de equilibrio.
4.Escriba la solución sabiendo que inicialmente se parte del reposo con 
m, 
m. Si 
m y 
m, determine la posición de las masas al cabo de 
segundos.
Colocamos el origen de coordenadas en el punto inferior central del diagrama (donde interseccionan las trayectorias posibles de cada masa).
Para :
Para :
Luego para la energía cinética:
Si escogemos la recta 
como origen para 
tendríamos que la energía potencial gravitatoria total del sistema sería:
Para la energía potencial elástica almacenada en los muelles:
y
donde el alargamiento del segundo muelle sale del teorema de pitágoras.
La Lagrangiana será:
De las ecuaciones de Lagrange:
nos queda:
Para 
:
y
Luego
Para 
:
y
Luego
Tenemos el sistema:
Para (1):
Es una ecuación diferencial de segundo orden homogénea, cuyo polinomio característico es 
.
Definiendo 
nos queda:
siendo 
.
Para (2):
Es una ecuación diferencial lineal de segundo orden (no homogénea pues posee término independiente). Definimos 
. Reorganizando:
Resolvemos la parte homogénea:
siendo 
Para encontrar la solución particular, notamos en la ecuación (17) que tanto el término inohomogéneo como los coeficientes de la parte homogénea son constantes. Esto nos inspira la posibilidad de elegir una solución particular constante, 
. Substituyendo, obtenemos
Por lo que 
queda:
Si en las ecuaciones de movimiento hubiéramos impuesto la condición de equilibrio (
y 
) nos quedarían:
Las condiciones impuestas por el enunciado equivalen a
Para :
por lo que
Para :
por lo que
Si 
m y 
m, para 
, como 
, 
y 
, con 
nos queda:
Como corolario, veamos con el formalismo de Newton que en el equilibrio la sumatoria de las fuerzas en el eje y para la masa 1 es nula. Con los datos 
, luego está en la posición de equilibro, luego el peso de la masa uno más la componente sobre el eje y de la fuerza del muelle dos cuando la segunda masa está en 
tiene que ser igual a la fuerza del muelle uno en dicha posición. En dicha posición la componente de la fuerza elástica del segundo muelle sobre el eje es 
, el peso 
y la fuerza del muelle 1 
lo que vemos que coincide con la suma de las dos anteriores.
Una varilla de longitud 
se encuentra fija por un extremo a un eje vertical. La varilla gira con velocidad angular alrededor de dicho eje. Determine el ángulo 
que la varilla forma con el eje.
