Problemas de mecánica lagrangiana

1
Nivel
Segundo ciclo
Dificultad
3
 

Dos partículas de masa , unidas mediante un muelle de constante elástica y longitud natural despreciable, giran con velocidad angular constante con respecto a un eje vertical que pasa por el centro de masas del sistema. Las partículas se mueven sobre un plano horizontal sin rozamiento. Determine:

1.El Lagrangiano del sistema.

2.Las correspondientes ecuaciones de Lagrange.

3.La integral de Jacobi.

Solución disponible
José Adrián C M
 
2
Oscilador armónico multidimensional
Nivel
Segundo ciclo
Dificultad
4
 

Considera un oscilador armónico multidimensional, dado por el potencial

(1)

Encuentra el lagrangiano, los momentos conjugados y el hamiltoniano del sistema. Utiliza coordenadas rectilíneas.

Solución disponible
pod
 
3
Nivel
Segundo ciclo
Dificultad
5
 

Considere el sistema formado por la masa que puede deslizar libremente sobre una recta horizontal, y unida mediante una varilla rígida y sin masa a M,pudiendo girar libremente en un plano vertical.


Figura 1.

1.Obtenga la Lagrangiana de este sistema.

2.Determine las integrales primeras de movimiento.

3.Suponga ahora que se impone una velocidad constante a y discuta la existencia de integrales primeras.

Solución disponible
José Adrián C M
 
4
Nivel
Segundo ciclo
Dificultad
5
 

Un disco uniforme de masa y radio lleva adherida una masa a una distancia a de su centro. Si el disco puede rodar sin deslizar sobre un plano horizontal, determine la frecuencia de las pequeñas oscilaciones alrededor de la posición de equilibrio. El plano que contiene al disco es vertical.

Solución disponible
José Adrián C M
 
5
Masa entre dos muelles
Nivel
Segundo ciclo
Dificultad
7
 

Tenemos una masa unida a un muelle de constante recuperadora , cuyo otro extremo esta fijado a un punto. Otra masa está unida a la primera masa mediante otro muelle de constante . Todos los muelles cumplen la ley de Hooke. Ambas masas están obligadas a moverse en una única dirección.

1.Justifica cuantos grados de libertad tiene este sistema. Razona cuales son las coordenadas generalizadas más adecuadas para estudiarlo.

2.Escribe el lagrangiano del sistema.

3.Escribe el hamiltoniano del sistema.

4.Identifica las cantidades conservadas del sistema.

5.Obtén las ecuaciones del movimiento en el espacio de configuración (formulismo lagrangiano).

6.Desacopla y resuelve las ecuaciones del movimiento para el caso y . Aplica la solución general al caso en que las dos masas parten del reposo, la primera en el equilibrio y la segunda desplazada una distancia de su posición de equilibrio.

Solución disponible
pod
 
6
Péndulo doble
Nivel
Segundo ciclo
Dificultad
7
 

La masa de la figura siguiente esta unida a un punto fijo con una vara de longitud fija , de forma que puede girar libremente respecto del punto fijo. De la misma forma, la masa esta unida a la anterior por otra vara rígida de longitud que puede girar libremente, independientemente de la posición de la primera vara. Consideramos que las dos masas pueden moverse tan sólo dentro del plano del papel.

Péndulo doble
Figura 1. Péndulo doble

1.Justifica cuantos grados de libertad tiene este sistema. Escribe las ecuaciones que relacionan las posiciones y con las coordenadas generalizadas más adecuadas para describir el sistema.

2.Escribe el lagrangiano del sistema.

3.Escribe los momentos conjugados.

4.Identifica las cantidades conservadas del sistema.

5.Obtén las ecuaciones del movimiento en el espacio de configuración (formulismo lagrangiano).

6.En la aproximación de ángulos muy pequeños, el péndulo simple se reduce a un oscilador armónico. Demuestra que, en esta misma aproximación, el péndulo doble se reduce al doble oscilador del problema anterior. ¿Cuál es la relación entre las coordenadas generalizadas de ambos sistemas?

Solución disponible
pod
 
Apartado 1.

Dos masas que pueden moverse en dos dimensiones tienen un total de cuatro grados de libertad, si no consideramos ninguna ligadura. El sistema de la figura 1 esta sometido a dos ligaduras, a saber, que las dos varas permanezcan de longitud constante. Cada ligadura resta un grado de libertad. Así, pues, tenemos tan sólo dos grados de libertad, que quedarán expresados de forma más simple utilizando como coordenadas generalizadas los ángulos .

Matemáticamente, podemos escribir las ligaduras del péndulo doble de la forma

(1)

Utilizando trigonometría, podemos relacionar de forma trivial las coordenadas originales con los ángulos. Para hacerlo, tomamos el criterio que es positiva hacia arriba y lo es a la izquierda. Así, pues, tenemos

(2)

Por lo tanto, el cambio de variables que nos lleva a las nuevas coordenadas generalizadas es de la forma

(3)
Apartado 2.

El lagrangiano se obtiene restando la energía potencial del sistema a la energía cinética del mismo. La energía potencial no es más que la suma de las energías potenciales gravitatoria de cada masa. Para cada masa, tomamos como origen de potenciales el punto donde esta fijado uno de los extremos de la primera vara.

(4)

La energía cinética es la suma de la energía cinética de cada masa,

(5)

Así, pues, la función lagrangiana del sistema es

(6)
Apartado 3.

Los momentos generalizados se obtienen simplemente derivando el lagrangiano.

(7)
Apartado 4.

Como vemos claramente en la expresión del lagrangiano, ec. (6), las dos coordenadas generalizadas aparecen explícitamente en el lagrangiano, por lo tanto ninguno de los momentos conjugados es una constante del movimiento.

Por otra parte, la variable tiempo no aparece en el lagrangiano, lo que nos indica que el sistema es conservativo. Por lo tanto, la única constante del movimiento que tenemos es la energía,

(8)
Apartado 5.

Las ecuaciones del movimiento se obtienen a partir de las ecuaciones de Euler-Lagrange,

(9)

Para la primera coordenada generalizada tenemos

(10)

con lo que la primera ecuación del movimiento es

(11)

Para la segunda coordenada generalizada tenemos

(12)

juntado resultados, tenemos la segunda ecuación del movimiento

(13)

Como vemos, las ecuaciones del movimiento no son lineales y están acopladas, lo cual imposibilita su solución analítica. La única forma de encontrar soluciones a estas ecuaciones es la utilización de métodos numéricos, o bien realizar alguna aproximación.

Apartado 6.

En primer lugar tenemos que buscar la relación nuestras coordenadas generalizadas (en el límite de ángulos pequeños) y las utilizadas en el caso del doble oscilador armónico, , que se miden a partir del punto de equilibrio. La relación será, pues, la misma de la ecuación (3) haciendo la aproximación para valores pequeños de x. El resultado que obtenemos es

(14)

o, lo que es lo mismo,

(15)

Para comprobar que el lagrangiano (6) se reduce al lagrangiano del doble oscilador armónico (problema anterior). Debemos tener en cuenta que . Quedándonos hasta segundo orden en las variables (y sus derivadas), tenemos

(16)

Reordenando términos, tenemos

(17)

Este nuevo lagrangiano, ignorando la constante aditiva, es equivalente al del doble oscilador, problema anterior, haciendo las identificaciones

(18)
7
Nivel
Segundo ciclo
Dificultad
8
 

Considere el sistema de la figura, donde la masa kg está obligada a moverse verticalmente según el eje y, mientras que m kg está obligada a moverse según el eje x, ambas bajo la acción de dos muelles de constantes recuperadoras N/m y N/m, además de la gravedad (Considere la longitud en reposo de los muelles nula).


Figura 1.

1.Calcule la lagrangiana del sistema.

2.Obtenga las ecuaciones del movimiento para las masas.

3.Obtenga la solución general de las mismas y la posición de equilibrio.

4.Escriba la solución sabiendo que inicialmente se parte del reposo con m, m. Si m y m, determine la posición de las masas al cabo de segundos.

Solución disponible
José Adrián C M
 
8
Nivel
Segundo ciclo
Dificultad
8
 

Una varilla de longitud se encuentra fija por un extremo a un eje vertical. La varilla gira con velocidad angular alrededor de dicho eje. Determine el ángulo que la varilla forma con el eje.

Solución disponible
José Adrián C M
 
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