Problemas de geometría lineal y espacio afín
y es perpendicular a la recta
y 
.
Dados los planos
hallar la ecuación de la recta 
que pasa por el punto 
y es paralela a los dos planos.
respecto del plano 
.
Llamaremos R a la recta perpendicular al plano 
que pasa por el punto A. De la ecuación del plano , sabemos que su vector perpendicular es (2, -1, -1), por lo que la recta R se puede escribir como
El punto de intersección entre la recta R y el plano , que llamaremos 
, se obtiene substituyendo los valores de 
, 
y 
en la ecuación del plano:
simplificando,
con lo que el punto de intersección se encuentra en 
. Substituyendo en (1), tenemos
El vector que une los puntos O' y A se obtiene simplemente restando,
Por simetría, el vector que une el punto con 
será 
. Por tanto,
Dados el punto 
y el plano 
. El punto simétrico, 
de 
respecto de será el punto que cumpla
donde 
es el punto de intersección entre el plano y la recta , perpendicular a éste y que pasa por . Matemáticamente:
Si expresamos de forma continua
Y ahora resolvemos dos de las tres igualdades, podemos expresar como intersección de dos planos
Así podemos reescribir (5.2) como 
. Para calcular ahora las coordenadas de no tenemos, pues, más que resolver el siguiente sistema, que es compatible determinado:
Donde 
, 
y 
. Lo resolveremos mediante la REGLA DE CRAMER, por lo que:
Así, tenemos que 
. Si ahora utilizamos este resultado en (1), obtenemos las coordenadas del punto simétrico :
En partircular para el caso dado,
Por lo tanto,
Entonces tenemos que
, proyección de la recta
.
Dos barras se cruzan bajo un ángulo 
y se mueven con iguales velocidades 
y perpendicularmente a si mismas, tal como se indica en la figura. ¿Cuál será la velocidad del punto de cruce de las barras?
Una forma de resolución totalmente geométrica. Sabemos que en dos dimensiones una recta se puede escribir como
donde 
es un vector perpendicular a ella y 
es un punto cualquiera de la recta. Este punto se moverá en la dirección perpendicular, a la velocidad v.
Elijo el eje OX de forma que pasa por la bisectriz de las dos varas. Para la bara superior, tenemos
Por lo tanto, la ecuación que nos da la recta ocupada por esta primera barra será, teniendo en cuenta que 
, es
Para la segunda barra, está claro que hay que cambiar el valor de la coordenada y del vector perpendicular,
Y las mismas consideraciones nos llevan a la ecuación
El punto de intersección de las barras será aquél que cumpla simultáneamente ambas ecuaciones. Restando (4) y (7) vemos que 
. Sumándolas
de donde
Por lo tanto, la velocidad de la intersección será
