Problemas de geometría lineal y espacio afín
y es perpendicular a la recta
y 
.
Dados los planos
hallar la ecuación de la recta 
que pasa por el punto 
y es paralela a los dos planos.
, del punto 
respecto del plano 
.
El vector perpendicular al plano 
es 
, mientras que el vector perpendicular a la recta 
es 
. La proyección del vector 
sobre 
viene dada por el producto escalar,
La proyección del vector sobre el plano se obtiene restándole su proyección sobre el vector ,
Para asegurarnos que la recta 
es la proyección sobre el plano de la recta , debemos asegurarnos de que pasa por el punto de intersección entre la recta y el plano. Dicho punto se obtiene por simple substitución en la ecuación del plano de la ecuación de la recta,
para facilitar el proceso, agrupamos todos los términos dependientes y los independientes, utilizando la notación del producto escalar, tenemos
lo que nos da
con lo que el punto de intersección será
Por lo tanto, la ecuación de la recta 
será
lo que nos da
Una recta viene dada por dos puntos, en este caso, como la recta pedida, 
es la proyección de la recta 
sobre el plano 
usaremos el punto intersección de y 
; lo llamaremos 
. El segundo punto de la recta, 
, lo obtendremos al proyectar otro cualquiera de la recta , 
sobre . Esto lo haremos usando una recta 
, perpendicular al plano y que pase por 
; tendrá la dirección de 
.
Para calcular la intersección de y con seguiremos el siguiente método. Sea la recta 
.
Donde para 
y para 
.
Si expresamos de forma continua
Y ahora resolvemos dos de las tres igualdades, entonces podemos expresarla como intersección de dos planos
Así podemos reescribir la segunda ecuación de [ref]61[/tex] como 
. Para calcular ahora las coordenadas de 
no tenemos, pues, más que resolver el siguiente sistema, que es compatible determinado:
Donde 
, 
y 
. Lo resolveremos mediante la REGLA DE CRAMER, por lo que:
Así, tenemos que 
. Que es el punto intersección de y .
Una vez obtenidos e 
, la recta buscada, , es la que tiene como vector dirección al vector
Y pasa por cualquier punto 
perteneciente al plano . Entonces podremos escribir en forma general como sigue
Dos barras se cruzan bajo un ángulo 
y se mueven con iguales velocidades 
y perpendicularmente a si mismas, tal como se indica en la figura. ¿Cuál será la velocidad del punto de cruce de las barras?
Una forma de resolución totalmente geométrica. Sabemos que en dos dimensiones una recta se puede escribir como
donde 
es un vector perpendicular a ella y 
es un punto cualquiera de la recta. Este punto se moverá en la dirección perpendicular, a la velocidad v.
Elijo el eje OX de forma que pasa por la bisectriz de las dos varas. Para la bara superior, tenemos
Por lo tanto, la ecuación que nos da la recta ocupada por esta primera barra será, teniendo en cuenta que 
, es
Para la segunda barra, está claro que hay que cambiar el valor de la coordenada y del vector perpendicular,
Y las mismas consideraciones nos llevan a la ecuación
El punto de intersección de las barras será aquél que cumpla simultáneamente ambas ecuaciones. Restando (4) y (7) vemos que 
. Sumándolas
de donde
Por lo tanto, la velocidad de la intersección será
