Problemas de geometría lineal y espacio afín

Tomamos uno de los cuatro puntos como origen, por ejemplo D. Una vez fijado el origen, los otros tres puntos definen otros tantos tres vectores,

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Estos tres vectores definen una matriz,

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Si el rango de esta matriz es 1, entonces los cuatro puntos están alineados. Si el rango es 2, son coplanares. Si es tres, no son coplanares.

Podemos comprobar fácilmente que el rango es, como mínimo, dos considerando el menor

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Nos queda únicamenmte comprobar si el rango de la matriz puede ser tres, calculando el determinante total,

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Por lo tanto, el rango de la matriz es tres, y los vectores no son coplanarios.

Dados tres puntos , y , la ecuación del plano formado por ellos es

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Así, todo punto que cumpla lo anterior pertenecerá al plano.

En el caso particular que se nos pide resolvamos, hemos de escribir la matriz con los puntos dados y calcular el determinante; si éste es nulo, entonces los puntos són coplanarios si no, no pertenecerán a un mismo plano.

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Por lo que los los puntos A(1,2,-1), B(3,0,2), C(1,-1,0) y D(0,2,-1) no son coplanarios.

Una forma de resolución totalmente geométrica. Sabemos que en dos dimensiones una recta se puede escribir como

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donde es un vector perpendicular a ella y es un punto cualquiera de la recta. Este punto se moverá en la dirección perpendicular, a la velocidad v.

Elijo el eje OX de forma que pasa por la bisectriz de las dos varas. Para la bara superior, tenemos

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Por lo tanto, la ecuación que nos da la recta ocupada por esta primera barra será, teniendo en cuenta que , es

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Para la segunda barra, está claro que hay que cambiar el valor de la coordenada y del vector perpendicular,

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Y las mismas consideraciones nos llevan a la ecuación

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El punto de intersección de las barras será aquél que cumpla simultáneamente ambas ecuaciones. Restando (4) y (7) vemos que . Sumándolas

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de donde

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Por lo tanto, la velocidad de la intersección será

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