Problemas de geometría lineal y espacio afín

La distancia entre dos puntos cualesquiera y es igual al módulo del vector cuyo inicio está en uno de los puntos y cuyo extremo está en el otro. Tomemos dicho vector (nótese que el resultado sería el mismo si consideráramos el vector ). El módulo, que se representa por , viene dado por la expresión:

(1)

Por lo tanto, en el caso particular que se nos pide, la distancia entre los puntos y vendrá dada por (1), es decir

(2)

Dados tres puntos , y , distintos entre sí; Si tomamos estos puntos como vértices de un triángulo , el ángulo de ese triángulo será igual al ángulo formado por los vectores y .

El producto escalar de dos vectores no nulos cualesquiera y es igual a

(3)

Así, el ángulo entre esos dos vectores será

(4)

Por lo que en nuestro caso particular, el ángulo será

(5)

Tomamos uno de los cuatro puntos como origen, por ejemplo D. Una vez fijado el origen, los otros tres puntos definen otros tantos tres vectores,

(1)

Estos tres vectores definen una matriz,

(2)

Si el rango de esta matriz es 1, entonces los cuatro puntos están alineados. Si el rango es 2, son coplanares. Si es tres, no son coplanares.

Podemos comprobar fácilmente que el rango es, como mínimo, dos considerando el menor

(3)

Nos queda únicamenmte comprobar si el rango de la matriz puede ser tres, calculando el determinante total,

(4)

Por lo tanto, el rango de la matriz es tres, y los vectores no son coplanarios.

Dados tres puntos , y , la ecuación del plano formado por ellos es

(1)

Así, todo punto que cumpla lo anterior pertenecerá al plano.

En el caso particular que se nos pide resolvamos, hemos de escribir la matriz con los puntos dados y calcular el determinante; si éste es nulo, entonces los puntos són coplanarios si no, no pertenecerán a un mismo plano.

(2)

Por lo que los los puntos A(1,2,-1), B(3,0,2), C(1,-1,0) y D(0,2,-1) no son coplanarios.