Problemas de geometría lineal y espacio afín

1
Nivel
Secundaria
Dificultad
3
 

Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto y es perpendicular a la recta

(1)
Solución disponible
Ghiret
 
2
Nivel
Secundaria
Dificultad
4
 

Dados los puntos A(1,2,3), B(-1,2,0) y C(2,3,-1), hallar:

1.La distancia de A a B,

2.El ángulo ACB.

Solución disponible
Ghiret
 
3
Nivel
Secundaria
Dificultad
4
 

Hallar las coordenadas de un vector paralelo a los dos planos, y .

Solución disponible
Ghiret
 
4
Nivel
Secundaria
Dificultad
4
 

¿Son coplanarios los puntos A(1,2,-1), B(3,0,2), C(1,-1,0) y D(0,2,-1)?

2 soluciones disponibles
pod
 
Ghiret
 
5
Nivel
Secundaria
Dificultad
5
 

Dados los planos

(1)

hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto y es paralela a los dos planos.

Solución disponible
Ghiret
 
6
Nivel
Secundaria
Dificultad
6
 

Hallar el simétrico , del punto respecto del plano .

2 soluciones disponibles
pod
 

Llamaremos R a la recta perpendicular al plano que pasa por el punto A. De la ecuación del plano , sabemos que su vector perpendicular es (2, -1, -1), por lo que la recta R se puede escribir como

(1)

El punto de intersección entre la recta R y el plano , que llamaremos , se obtiene substituyendo los valores de , y en la ecuación del plano:

(2)

simplificando,

(3)

con lo que el punto de intersección se encuentra en . Substituyendo en (1), tenemos

(4)

El vector que une los puntos O' y A se obtiene simplemente restando,

(5)

Por simetría, el vector que une el punto con será . Por tanto,

(6)
Ghiret
 

Dados el punto y el plano . El punto simétrico, de respecto de será el punto que cumpla

(1)

donde es el punto de intersección entre el plano y la recta , perpendicular a éste y que pasa por . Matemáticamente:

(2)
(3)

Si expresamos de forma continua

(4)

Y ahora resolvemos dos de las tres igualdades, podemos expresar como intersección de dos planos

(5)

Así podemos reescribir (5.2) como . Para calcular ahora las coordenadas de no tenemos, pues, más que resolver el siguiente sistema, que es compatible determinado:

[ERROR DE LaTeX. Error: 4 ]
(6)

Donde , y . Lo resolveremos mediante la REGLA DE CRAMER, por lo que:

(7)

Así, tenemos que . Si ahora utilizamos este resultado en (1), obtenemos las coordenadas del punto simétrico :

(8)

En partircular para el caso dado,

[ERROR DE LaTeX. Error: 4 ]
(9)
(10)

Por lo tanto,

(11)

Entonces tenemos que

(12)
7
Nivel
Secundaria
Dificultad
8
 

Hallar la ecuación de la recta , proyección de la recta

(1)

sobre el plano .

2 soluciones disponibles
pod
 

El vector perpendicular al plano es , mientras que el vector perpendicular a la recta es . La proyección del vector sobre viene dada por el producto escalar,

(1)

La proyección del vector sobre el plano se obtiene restándole su proyección sobre el vector ,

(2)

Para asegurarnos que la recta es la proyección sobre el plano de la recta , debemos asegurarnos de que pasa por el punto de intersección entre la recta y el plano. Dicho punto se obtiene por simple substitución en la ecuación del plano de la ecuación de la recta,

(3)

para facilitar el proceso, agrupamos todos los términos dependientes y los independientes, utilizando la notación del producto escalar, tenemos

(4)

lo que nos da

(5)

con lo que el punto de intersección será

(6)

Por lo tanto, la ecuación de la recta será

(7)

lo que nos da

(8)
Ghiret
 
8
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
7
 

Dos barras se cruzan bajo un ángulo y se mueven con iguales velocidades y perpendicularmente a si mismas, tal como se indica en la figura. ¿Cuál será la velocidad del punto de cruce de las barras?

Diagrama del problema
Figura 1. Diagrama del problema
Solución disponible
pod
 
Búsqueda rápida de problemas
Categoría
 
Nivel
 
Volver a la página principal
© 2003—2024, La web de Física
Dirección de contacto
Créditos