Problemas de geometría lineal y espacio afín
y es perpendicular a la recta
y 
.
Dados los planos
hallar la ecuación de la recta 
que pasa por el punto 
y es paralela a los dos planos.
respecto del plano 
.
Llamaremos R a la recta perpendicular al plano 
que pasa por el punto A. De la ecuación del plano , sabemos que su vector perpendicular es (2, -1, -1), por lo que la recta R se puede escribir como
El punto de intersección entre la recta R y el plano , que llamaremos 
, se obtiene substituyendo los valores de 
, 
y 
en la ecuación del plano:
simplificando,
con lo que el punto de intersección se encuentra en 
. Substituyendo en (1), tenemos
El vector que une los puntos O' y A se obtiene simplemente restando,
Por simetría, el vector que une el punto con 
será 
. Por tanto,
Dados el punto 
y el plano 
. El punto simétrico, 
de 
respecto de será el punto que cumpla
donde 
es el punto de intersección entre el plano y la recta , perpendicular a éste y que pasa por . Matemáticamente:
Si expresamos de forma continua
Y ahora resolvemos dos de las tres igualdades, podemos expresar como intersección de dos planos
Así podemos reescribir (5.2) como 
. Para calcular ahora las coordenadas de no tenemos, pues, más que resolver el siguiente sistema, que es compatible determinado:
Donde 
, 
y 
. Lo resolveremos mediante la REGLA DE CRAMER, por lo que:
Así, tenemos que 
. Si ahora utilizamos este resultado en (1), obtenemos las coordenadas del punto simétrico :
En partircular para el caso dado,
Por lo tanto,
Entonces tenemos que
Una recta viene dada por dos puntos, en este caso, como la recta pedida, 
es la proyección de la recta 
sobre el plano 
usaremos el punto intersección de y 
; lo llamaremos 
. El segundo punto de la recta, 
, lo obtendremos al proyectar otro cualquiera de la recta , sobre . Esto lo haremos usando una recta 
, perpendicular al plano y que pase por ; tendrá la dirección de 
.
Para calcular la intersección de y con seguiremos el siguiente método. Sea la recta 
.
Donde para 
y para 
.
Si expresamos de forma continua
Y ahora resolvemos dos de las tres igualdades, entonces podemos expresarla como intersección de dos planos
Así podemos reescribir la segunda ecuación de [ref]61[/tex] como 
. Para calcular ahora las coordenadas de 
no tenemos, pues, más que resolver el siguiente sistema, que es compatible determinado:
Donde , y . Lo resolveremos mediante la REGLA DE CRAMER, por lo que:
Así, tenemos que 
. Que es el punto intersección de y .
Una vez obtenidos e 
, la recta buscada, , es la que tiene como vector dirección al vector
Y pasa por cualquier punto 
perteneciente al plano . Entonces podremos escribir en forma general como sigue
Dos barras se cruzan bajo un ángulo 
y se mueven con iguales velocidades 
y perpendicularmente a si mismas, tal como se indica en la figura. ¿Cuál será la velocidad del punto de cruce de las barras?
