Problemas de geometría lineal y espacio afín

En general una recta en el espacio que pasa por el punto y paralela al vector viene dada paramétricamente por

(1)

Dados dos planos y cualquier recta, , que cumpla cumple también que , donde es la recta intersección entre esos dos planos.

Sean los planos y , si tomamos los vectores y , el vector director, de la recta cumplirá que .

(2)

Tomando para simplificar que , podemos escribir la recta que nos pedían de la forma:

(3)

Para el caso particular en que y y , obtenemos la recta

(4)

Llamaremos R a la recta perpendicular al plano que pasa por el punto A. De la ecuación del plano , sabemos que su vector perpendicular es (2, -1, -1), por lo que la recta R se puede escribir como

(1)

El punto de intersección entre la recta R y el plano , que llamaremos , se obtiene substituyendo los valores de , y en la ecuación del plano:

(2)

simplificando,

(3)

con lo que el punto de intersección se encuentra en . Substituyendo en (1), tenemos

(4)

El vector que une los puntos O' y A se obtiene simplemente restando,

(5)

Por simetría, el vector que une el punto con será . Por tanto,

(6)

Dados el punto y el plano . El punto simétrico, de respecto de será el punto que cumpla

(1)

donde es el punto de intersección entre el plano y la recta , perpendicular a éste y que pasa por . Matemáticamente:

(2)

(3)

Si expresamos de forma continua

(4)

Y ahora resolvemos dos de las tres igualdades, podemos expresar como intersección de dos planos

(5)

Así podemos reescribir (5.2) como . Para calcular ahora las coordenadas de no tenemos, pues, más que resolver el siguiente sistema, que es compatible determinado:

Donde , y . Lo resolveremos mediante la REGLA DE CRAMER, por lo que:

(7)

Así, tenemos que . Si ahora utilizamos este resultado en (1), obtenemos las coordenadas del punto simétrico :

(8)

En partircular para el caso dado,

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Por lo tanto,

(11)

Entonces tenemos que

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