Problemas de integración

1
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
3
 

Haciendo uso de la definición, demuestra

(1)
Solución disponible
Cat_in_a_box
 
2
Integrales dobles
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
4
 

Calcula las siguientes integrales dobles en los recintos indicados:

(1)
Solución disponible
arreldepi
 
3
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
6
 

Calculad la integral

(1)

en función del parámetro (siendo )

Solución disponible
arreldepi
 
4
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
6
 

Resolver la siguiente integral

(1)
Solución disponible
arreldepi
 
5
Valor de función
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
7
 

Suponga que es continua y que . Sabiendo que , calcule .

Solución disponible
Metaleer
 
6
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
7
 

Sean las integrales

(1)

1.Demostrad que y que

2.A continuación,teniendo en cuenta que es una función con simetría par,utilizad este resultado para mostrar que

(2)
Solución disponible
arreldepi
 
Apartado 1.

Tenemos que demostrar que

(1)

Para ello, vamos a derivar ambas funciones por separado:

(2)

Por el primer teorema fundamental del cálculo sabemos que , con lo cual

(3)

Y, ahora, derivamos :

(4)

Podemos hacer el siguiente cambio de variable: , con el cual, los límites de integración quedan . Es decir, que

(5)

Ahora, si sumamos f'(x) y g'(x), teniendo en cuenta que u y t son variables mudas (podemos designar a ambas con la letra v), nos queda

(6)

como queríamos demostrar.

Ahora bien, si , integrando, vemos que

(7)

para obtener el valor de la constante, hacemos y tenemos que

(8)

es decir, que

(9)
Apartado 2.

Con lo que hemos obtenido en el apartado anterior, podemos calcular cuánto vale , luego, como es una función par, bastará con multiplicar el resultado obtenido por 2 para saber cuánto vale .

Sabemos que

(10)

Con lo cual

(11)

y por lo tanto

(12)

Debido a la propiedad simétrica de la función que teníamos como dato:

(13)
7
Asíntotas y monotonía de integral
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
8
 

Sea la función definida mediante

(1)

Estudiar las asíntotas y la monotonía de . Dibujar aproximadamente la gráfica de .

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