Problemas de geometría lineal y espacio afín
Nivel: Secundaria
y es perpendicular a la recta
La distancia entre dos puntos cualesquiera 
y 
es igual al módulo del vector cuyo inicio está en uno de los puntos y cuyo extremo está en el otro. Tomemos dicho vector 
(nótese que el resultado sería el mismo si consideráramos el vector 
). El módulo, que se representa por 
, viene dado por la expresión:
Por lo tanto, en el caso particular que se nos pide, la distancia entre los puntos 
y 
vendrá dada por (1), es decir
Dados tres puntos , y 
, distintos entre sí; Si tomamos estos puntos como vértices de un triángulo 
, el ángulo 
de ese triángulo será igual al ángulo formado por los vectores 
y 
.
El producto escalar de dos vectores no nulos cualesquiera 
y 
es igual a
Así, el ángulo entre esos dos vectores será
Por lo que en nuestro caso particular, el ángulo será
y 
.
Dados los planos
hallar la ecuación de la recta 
que pasa por el punto 
y es paralela a los dos planos.
respecto del plano 
.
Llamaremos R a la recta perpendicular al plano 
que pasa por el punto A. De la ecuación del plano , sabemos que su vector perpendicular es (2, -1, -1), por lo que la recta R se puede escribir como
El punto de intersección entre la recta R y el plano , que llamaremos 
, se obtiene substituyendo los valores de 
, 
y 
en la ecuación del plano:
simplificando,
con lo que el punto de intersección se encuentra en 
. Substituyendo en (1), tenemos
El vector que une los puntos O' y A se obtiene simplemente restando,
Por simetría, el vector que une el punto con 
será 
. Por tanto,
Dados el punto 
y el plano 
. El punto simétrico, 
de 
respecto de será el punto que cumpla
donde 
es el punto de intersección entre el plano y la recta , perpendicular a éste y que pasa por . Matemáticamente:
Si expresamos de forma continua
Y ahora resolvemos dos de las tres igualdades, podemos expresar como intersección de dos planos
Así podemos reescribir (5.2) como 
. Para calcular ahora las coordenadas de no tenemos, pues, más que resolver el siguiente sistema, que es compatible determinado:
Donde 
, 
y 
. Lo resolveremos mediante la REGLA DE CRAMER, por lo que:
Así, tenemos que 
. Si ahora utilizamos este resultado en (1), obtenemos las coordenadas del punto simétrico :
En partircular para el caso dado,
Por lo tanto,
Entonces tenemos que
, proyección de la recta
.
