Problemas de geometría lineal y espacio afín

Nivel: Secundaria

1
Nivel
Secundaria
Dificultad
3
 

Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto y es perpendicular a la recta

(1)
Solución disponible
Ghiret
 
2
Nivel
Secundaria
Dificultad
4
 

Dados los puntos A(1,2,3), B(-1,2,0) y C(2,3,-1), hallar:

1.La distancia de A a B,

2.El ángulo ACB.

Solución disponible
Ghiret
 
Apartado 1.

La distancia entre dos puntos cualesquiera y es igual al módulo del vector cuyo inicio está en uno de los puntos y cuyo extremo está en el otro. Tomemos dicho vector (nótese que el resultado sería el mismo si consideráramos el vector ). El módulo, que se representa por , viene dado por la expresión:

(1)

Por lo tanto, en el caso particular que se nos pide, la distancia entre los puntos y vendrá dada por (1), es decir

(2)
Apartado 2.

Dados tres puntos , y , distintos entre sí; Si tomamos estos puntos como vértices de un triángulo , el ángulo de ese triángulo será igual al ángulo formado por los vectores y .

El producto escalar de dos vectores no nulos cualesquiera y es igual a

(3)

Así, el ángulo entre esos dos vectores será

(4)

Por lo que en nuestro caso particular, el ángulo será

(5)
3
Nivel
Secundaria
Dificultad
4
 

Hallar las coordenadas de un vector paralelo a los dos planos, y .

Solución disponible
Ghiret
 
4
Nivel
Secundaria
Dificultad
4
 

¿Son coplanarios los puntos A(1,2,-1), B(3,0,2), C(1,-1,0) y D(0,2,-1)?

2 soluciones disponibles
pod
 
Ghiret
 
5
Nivel
Secundaria
Dificultad
5
 

Dados los planos

(1)

hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto y es paralela a los dos planos.

Solución disponible
Ghiret
 
6
Nivel
Secundaria
Dificultad
6
 

Hallar el simétrico , del punto respecto del plano .

2 soluciones disponibles
pod
 

Llamaremos R a la recta perpendicular al plano que pasa por el punto A. De la ecuación del plano , sabemos que su vector perpendicular es (2, -1, -1), por lo que la recta R se puede escribir como

(1)

El punto de intersección entre la recta R y el plano , que llamaremos , se obtiene substituyendo los valores de , y en la ecuación del plano:

(2)

simplificando,

(3)

con lo que el punto de intersección se encuentra en . Substituyendo en (1), tenemos

(4)

El vector que une los puntos O' y A se obtiene simplemente restando,

(5)

Por simetría, el vector que une el punto con será . Por tanto,

(6)
Ghiret
 

Dados el punto y el plano . El punto simétrico, de respecto de será el punto que cumpla

(1)

donde es el punto de intersección entre el plano y la recta , perpendicular a éste y que pasa por . Matemáticamente:

(2)
(3)

Si expresamos de forma continua

(4)

Y ahora resolvemos dos de las tres igualdades, podemos expresar como intersección de dos planos

(5)

Así podemos reescribir (5.2) como . Para calcular ahora las coordenadas de no tenemos, pues, más que resolver el siguiente sistema, que es compatible determinado:

[ERROR DE LaTeX. Error: 4 ]
(6)

Donde , y . Lo resolveremos mediante la REGLA DE CRAMER, por lo que:

(7)

Así, tenemos que . Si ahora utilizamos este resultado en (1), obtenemos las coordenadas del punto simétrico :

(8)

En partircular para el caso dado,

[ERROR DE LaTeX. Error: 4 ]
(9)
(10)

Por lo tanto,

(11)

Entonces tenemos que

(12)
7
Nivel
Secundaria
Dificultad
8
 

Hallar la ecuación de la recta , proyección de la recta

(1)

sobre el plano .

2 soluciones disponibles
pod
 
Ghiret
 
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