Problemas de geometría lineal y espacio afín

La distancia entre dos puntos cualesquiera y es igual al módulo del vector cuyo inicio está en uno de los puntos y cuyo extremo está en el otro. Tomemos dicho vector (nótese que el resultado sería el mismo si consideráramos el vector ). El módulo, que se representa por , viene dado por la expresión:

(1)

Por lo tanto, en el caso particular que se nos pide, la distancia entre los puntos y vendrá dada por (1), es decir

(2)

Dados tres puntos , y , distintos entre sí; Si tomamos estos puntos como vértices de un triángulo , el ángulo de ese triángulo será igual al ángulo formado por los vectores y .

El producto escalar de dos vectores no nulos cualesquiera y es igual a

(3)

Así, el ángulo entre esos dos vectores será

(4)

Por lo que en nuestro caso particular, el ángulo será

(5)

El vector perpendicular al plano es , mientras que el vector perpendicular a la recta es . La proyección del vector sobre viene dada por el producto escalar,

(1)

La proyección del vector sobre el plano se obtiene restándole su proyección sobre el vector ,

(2)

Para asegurarnos que la recta es la proyección sobre el plano de la recta , debemos asegurarnos de que pasa por el punto de intersección entre la recta y el plano. Dicho punto se obtiene por simple substitución en la ecuación del plano de la ecuación de la recta,

(3)

para facilitar el proceso, agrupamos todos los términos dependientes y los independientes, utilizando la notación del producto escalar, tenemos

(4)

lo que nos da

(5)

con lo que el punto de intersección será

(6)

Por lo tanto, la ecuación de la recta será

(7)

lo que nos da

(8)

Una recta viene dada por dos puntos, en este caso, como la recta pedida, es la proyección de la recta sobre el plano usaremos el punto intersección de y ; lo llamaremos . El segundo punto de la recta, , lo obtendremos al proyectar otro cualquiera de la recta , sobre . Esto lo haremos usando una recta , perpendicular al plano y que pase por ; tendrá la dirección de .

Para calcular la intersección de y con seguiremos el siguiente método. Sea la recta .

(1)

Donde para y para .

Si expresamos de forma continua

(2)

Y ahora resolvemos dos de las tres igualdades, entonces podemos expresarla como intersección de dos planos

(3)

Así podemos reescribir la segunda ecuación de [ref]61[/tex] como . Para calcular ahora las coordenadas de no tenemos, pues, más que resolver el siguiente sistema, que es compatible determinado:

Donde , y . Lo resolveremos mediante la REGLA DE CRAMER, por lo que:

(5)

Así, tenemos que . Que es el punto intersección de y .

Una vez obtenidos e , la recta buscada, , es la que tiene como vector dirección al vector

(6)

Y pasa por cualquier punto perteneciente al plano . Entonces podremos escribir en forma general como sigue

(7)