Dados tres puntos , y , la ecuación del plano formado por ellos es
Así, todo punto que cumpla lo anterior pertenecerá al plano.
En el caso particular que se nos pide resolvamos, hemos de escribir la matriz con los puntos dados y calcular el determinante; si éste es nulo, entonces los puntos són coplanarios si no, no pertenecerán a un mismo plano.
Por lo que los los puntos A(1,2,-1), B(3,0,2), C(1,-1,0) y D(0,2,-1) no son coplanarios.
Dados los planos
hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto y es paralela a los dos planos.
Llamaremos R a la recta perpendicular al plano que pasa por el punto A. De la ecuación del plano , sabemos que su vector perpendicular es (2, -1, -1), por lo que la recta R se puede escribir como
El punto de intersección entre la recta R y el plano , que llamaremos , se obtiene substituyendo los valores de , y en la ecuación del plano:
simplificando,
con lo que el punto de intersección se encuentra en . Substituyendo en (1), tenemos
El vector que une los puntos O' y A se obtiene simplemente restando,
Por simetría, el vector que une el punto con será . Por tanto,
Dados el punto y el plano . El punto simétrico, de respecto de será el punto que cumpla
donde es el punto de intersección entre el plano y la recta , perpendicular a éste y que pasa por . Matemáticamente:
Si expresamos de forma continua
Y ahora resolvemos dos de las tres igualdades, podemos expresar como intersección de dos planos
Así podemos reescribir (5.2) como . Para calcular ahora las coordenadas de no tenemos, pues, más que resolver el siguiente sistema, que es compatible determinado:
Donde , y . Lo resolveremos mediante la REGLA DE CRAMER, por lo que:
Así, tenemos que . Si ahora utilizamos este resultado en (1), obtenemos las coordenadas del punto simétrico :
En partircular para el caso dado,
Por lo tanto,
Entonces tenemos que