Problemas de geometría lineal y espacio afín

Un plano viene dado por , donde el vector es un vector normal al plano. Una recta en forma continua, es decir,

(1)

tendrá la dirección del vector . Como se nos pide un plano perpendicular a una recta y conocemos el vector director de la recta en cuestión no tenemos, pues, más que elegir como vector normal al plano, al vector director de esa recta; hacer , así quedaría el plano

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Como además se nos pide que el plano pase por un punto , para calcular sólo tenemos que introducir las coordenadas del punto dado en la ecuación del plano y despejarla.

(3)

Y el plano queda de forma general en la forma

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Si en la expresión anterior usamos los datos proporcionados

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Obtenemos el plano

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Llamaremos R a la recta perpendicular al plano que pasa por el punto A. De la ecuación del plano , sabemos que su vector perpendicular es (2, -1, -1), por lo que la recta R se puede escribir como

(1)

El punto de intersección entre la recta R y el plano , que llamaremos , se obtiene substituyendo los valores de , y en la ecuación del plano:

(2)

simplificando,

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con lo que el punto de intersección se encuentra en . Substituyendo en (1), tenemos

(4)

El vector que une los puntos O' y A se obtiene simplemente restando,

(5)

Por simetría, el vector que une el punto con será . Por tanto,

(6)

Dados el punto y el plano . El punto simétrico, de respecto de será el punto que cumpla

(1)

donde es el punto de intersección entre el plano y la recta , perpendicular a éste y que pasa por . Matemáticamente:

(2)

(3)

Si expresamos de forma continua

(4)

Y ahora resolvemos dos de las tres igualdades, podemos expresar como intersección de dos planos

(5)

Así podemos reescribir (5.2) como . Para calcular ahora las coordenadas de no tenemos, pues, más que resolver el siguiente sistema, que es compatible determinado:

Donde , y . Lo resolveremos mediante la REGLA DE CRAMER, por lo que:

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Así, tenemos que . Si ahora utilizamos este resultado en (1), obtenemos las coordenadas del punto simétrico :

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En partircular para el caso dado,

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Por lo tanto,

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Entonces tenemos que

(12)