Problemas de geometría lineal y espacio afín

Un plano viene dado por , donde el vector es un vector normal al plano. Una recta en forma continua, es decir,

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tendrá la dirección del vector . Como se nos pide un plano perpendicular a una recta y conocemos el vector director de la recta en cuestión no tenemos, pues, más que elegir como vector normal al plano, al vector director de esa recta; hacer , así quedaría el plano

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Como además se nos pide que el plano pase por un punto , para calcular sólo tenemos que introducir las coordenadas del punto dado en la ecuación del plano y despejarla.

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Y el plano queda de forma general en la forma

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Si en la expresión anterior usamos los datos proporcionados

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Obtenemos el plano

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Tomamos uno de los cuatro puntos como origen, por ejemplo D. Una vez fijado el origen, los otros tres puntos definen otros tantos tres vectores,

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Estos tres vectores definen una matriz,

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Si el rango de esta matriz es 1, entonces los cuatro puntos están alineados. Si el rango es 2, son coplanares. Si es tres, no son coplanares.

Podemos comprobar fácilmente que el rango es, como mínimo, dos considerando el menor

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Nos queda únicamenmte comprobar si el rango de la matriz puede ser tres, calculando el determinante total,

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Por lo tanto, el rango de la matriz es tres, y los vectores no son coplanarios.

Dados tres puntos , y , la ecuación del plano formado por ellos es

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Así, todo punto que cumpla lo anterior pertenecerá al plano.

En el caso particular que se nos pide resolvamos, hemos de escribir la matriz con los puntos dados y calcular el determinante; si éste es nulo, entonces los puntos són coplanarios si no, no pertenecerán a un mismo plano.

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Por lo que los los puntos A(1,2,-1), B(3,0,2), C(1,-1,0) y D(0,2,-1) no son coplanarios.