Problemas de geometría lineal y espacio afín

Tomamos uno de los cuatro puntos como origen, por ejemplo D. Una vez fijado el origen, los otros tres puntos definen otros tantos tres vectores,

(1)

Estos tres vectores definen una matriz,

(2)

Si el rango de esta matriz es 1, entonces los cuatro puntos están alineados. Si el rango es 2, son coplanares. Si es tres, no son coplanares.

Podemos comprobar fácilmente que el rango es, como mínimo, dos considerando el menor

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Nos queda únicamenmte comprobar si el rango de la matriz puede ser tres, calculando el determinante total,

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Por lo tanto, el rango de la matriz es tres, y los vectores no son coplanarios.

Dados tres puntos , y , la ecuación del plano formado por ellos es

(1)

Así, todo punto que cumpla lo anterior pertenecerá al plano.

En el caso particular que se nos pide resolvamos, hemos de escribir la matriz con los puntos dados y calcular el determinante; si éste es nulo, entonces los puntos són coplanarios si no, no pertenecerán a un mismo plano.

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Por lo que los los puntos A(1,2,-1), B(3,0,2), C(1,-1,0) y D(0,2,-1) no son coplanarios.

Una recta viene dada por dos puntos, en este caso, como la recta pedida, es la proyección de la recta sobre el plano usaremos el punto intersección de y ; lo llamaremos . El segundo punto de la recta, , lo obtendremos al proyectar otro cualquiera de la recta , sobre . Esto lo haremos usando una recta , perpendicular al plano y que pase por ; tendrá la dirección de .

Para calcular la intersección de y con seguiremos el siguiente método. Sea la recta .

(1)

Donde para y para .

Si expresamos de forma continua

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Y ahora resolvemos dos de las tres igualdades, entonces podemos expresarla como intersección de dos planos

(3)

Así podemos reescribir la segunda ecuación de [ref]61[/tex] como . Para calcular ahora las coordenadas de no tenemos, pues, más que resolver el siguiente sistema, que es compatible determinado:

Donde , y . Lo resolveremos mediante la REGLA DE CRAMER, por lo que:

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Así, tenemos que . Que es el punto intersección de y .

Una vez obtenidos e , la recta buscada, , es la que tiene como vector dirección al vector

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Y pasa por cualquier punto perteneciente al plano . Entonces podremos escribir en forma general como sigue

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