Problemas de leyes de newton en una dimensión
Nivel: Primer ciclo
Para despegar, dos planeadores se arrastran uno tras el otro mediante un avión de
transporte. La masa de cada planeador es 
y la fuerza con que se oponen al arrastre es
. Los cables empleados para unir los tres aviones no deben someterse a tensiones
superiores a 
. ¿Cuál es la aceleración máxima con que puede arrastrar los
planeadores sin que se rompan los cables? ¿Cuál es la longitud mínima de pista
requerida, si es 
la velocidad de despegue?
Suponemos gotas de lluvia que caen desde una cierta altura 
. Si no hubiera fricción, calcular la velocidad con la que llega a tierra. Ahora suponemos que las gotas experimentan una fuerza de fricción 
. Calcular 
y encontrar la velocidad límite. Para una aplicación realista supondremos los siguientes datos: 
y 
.
Una cobra real de longitud L y masa m uniformemente distribuida reposa sobre el suelo. La cobra decide elevarse verticalmente. ¿Cuál será el valor de la fuerza media que ejerce el suelo sobre ella y hace que la cobra se eleve hacia arriba con una velocidad constante v? Despreciar todo tipo de rozamiento.
Un punto de masa 
se mueve por una trayectoria rectilínea bajo la acción de una fuerza proporcional al tiempo (el coeficiente de proporcionalidad es 
). Además, el punto experimenta por parte del medio una resistencia viscosa por parte del aire proporcional a la velocidad (el coeficiente de proporcionalidad es 
). En el instante inicial la velocidad es igual a cero.
1.Encuentre la evolución de la velocidad respecto del tiempo en el caso en que no hay resistencia del aire (es decir, cuando 
).
2.Resuelva el problema en el caso general, con 
.
3.Compruebe que el resultado del segundo apartado se reduce al del primero tomando el límite 
.
La fuerza de rozamiento de un cuerpo con un medio fluido se suele modelizar con expresiones del tipo 
, donde n = 1, 2, etc., y 
es la velocidad del cuerpo relativa al medio. Para ponerlo en práctica, imaginaremos un velero de masa que se mueve impulsado por un viento de de velocidad 
(respecto al mar). La fuerza de impulsión se puede considerar como el rozamiento con el aire, con 
y constante de proporcionalidad 
. Consideraremos también la existencia de el rozamiento con el agua, con 
y constante 
.
1.Escribir la expresión de todas las fuerzas que intervienen en el movimiento del velero en función de la velocidad del mismo, siguiendo un convenio de signos coherente.
2.¿Cuál es la velocidad de crucero del velero?
3.Encuentra la velocidad del velero en función del tiempo, suponiendo que comienza parado.
4.Encuentra la posición del velero en función del tiempo, suponiendo que comienza en el origen.
5.Utilizando la solución analítica, verifica que la velocidad de crucero es la calculada en el anterior apartado.
Sabiendo que el momento lineal de una onda electro magnética és 
donde E es la energía de esta onda y c la velocidad de la luz, calcula la fuerza que ejerce una onda con un flujo de energía de 
sobre una cartulina negra de 3cm de lado, que la absorbe completamente
Considerando una fuerza constante que actúa tan sólo entre 
y 
, con 
mucho menor que cualquier otra escala de tiempos del problema (con lo cual podemos quedarnos, en cada momento, con el primer orden) obtén la función de Green del oscilador armónico amortiguado, con frecuencia natural 
y coeficiente de rozamiento 
. Considerar los tres casos posibles:
1.oscilador sobreamortiguado,
2.amortiguamiento crítico y
3.oscilador infraamortiguado.
Sin pérdida de generalidad, dado que el método de la función de Green es válido para cualquier conjunto de condiciones iniciales, consideraremos que a el oscilador está en reposo en la posición de equilibrio.
La ecuación diferencial del movimiento del oscilador armónico es la siguiente,
donde 
para 
, y 
en qualquier otro instante. Como vemos, esto no es más que la preparación para descomponer la fuerza en pequeños intervalos de tiempo donde podemos considerar que es constante.
La posición en el instante final se puede obtener sencillamente integrando la velocidad,
donde en el último paso hemos tenido en cuenta las condiciones iniciales de reposo en equilibrio. Procediendo de forma similar, podemos obtener la velocidad en el instante final del intérvalo,
donde, en el primer paso, hemos tenido en cuenta la ecuación diferencial del oscilador, ec. (1).
Los valores obtenidos no son más que las condiciones iniciales para el movimiento del oscilador a partir de . A partir de ese momento, el oscilador se moverá según el tipo de amortiguamiento siguiendo las soluciones generales, que se pueden consultar en el diccionario de ecuaciones. Por lo tanto, tenemos que distinguir entre los tres casos.
En este caso, la solución general es de la forma
donde 
. Las constantes 
y 
se obtienen imponiendo las condiciones iniciales (2) y (3). El resultado es
Así, pues, tenemos
Desarrollando por Taylor las exponenciales vemos como los términos lineales en se cancelan entre si, y los órdenes más elevados se ajuntan con el 
. Con los términos restantes, podemos reconstruir las exponenciales, quedandonos
Llegados a este punto, observamos que el coeficiente que multiplica a la ecuación proviene de considerar la fuerza constante en un intervalo de tiempo único. Si consideramos diferentes intervalos con diferentes valores de la fuerza 
, reconstruimos la dependencia general de una fuerza general 
. En este caso, gracias al principio de superposición, podemos considerar una solución particular del tipo (7) para cada intervalo de tiempo, con lo cual la solución total es una superposición (suma) de todas las soluciones particulares,
Si tomamos el límite 
, reconocemos la definción de la integral de Riemann,
La función de Green es todo aquello que acompaña, en el integrando, al término inomohéneo de la ecuación diferencial (1), por tanto
En este caso, 
y las soluciones son de la forma
Las condiciones iniciales (2) y (3) determinan
con lo cual, la solución final, una vez realizado el sumatorio para todos los diferentes intervalos de tiempo, siguiendo el mismo razonamiento que en el caso anterior, es
así, pues, tenemos
Este caso se obtiene directamente del caso sobreamortiguado simplemente realizando la substitución 
, donde 
. Por tanto, el resultado final es
O bien, escrito de otra forma,
Considera un oscilador armónico simple de frecuencia natural 
, el cual se mueve sobre la superficie del suelo, lo que produce una fuerza de rozamiento constante, de valor 
. El oscilador comienza, en reposo, separado una distancia 
de la posición donde la fuerza de recuperación es nula. Calcula cual será la evolución ulterior del oscilador. Considera iguales las fuerzas de fricción estática y dinámica.
