Problemas de leyes de newton en una dimensión
Nivel: Primer ciclo
Para despegar, dos planeadores se arrastran uno tras el otro mediante un avión de
transporte. La masa de cada planeador es 
y la fuerza con que se oponen al arrastre es
. Los cables empleados para unir los tres aviones no deben someterse a tensiones
superiores a 
. ¿Cuál es la aceleración máxima con que puede arrastrar los
planeadores sin que se rompan los cables? ¿Cuál es la longitud mínima de pista
requerida, si es 
la velocidad de despegue?
Suponemos gotas de lluvia que caen desde una cierta altura 
. Si no hubiera fricción, calcular la velocidad con la que llega a tierra. Ahora suponemos que las gotas experimentan una fuerza de fricción 
. Calcular 
y encontrar la velocidad límite. Para una aplicación realista supondremos los siguientes datos: 
y 
.
Una cobra real de longitud L y masa m uniformemente distribuida reposa sobre el suelo. La cobra decide elevarse verticalmente. ¿Cuál será el valor de la fuerza media que ejerce el suelo sobre ella y hace que la cobra se eleve hacia arriba con una velocidad constante v? Despreciar todo tipo de rozamiento.
Un punto de masa 
se mueve por una trayectoria rectilínea bajo la acción de una fuerza proporcional al tiempo (el coeficiente de proporcionalidad es 
). Además, el punto experimenta por parte del medio una resistencia viscosa por parte del aire proporcional a la velocidad (el coeficiente de proporcionalidad es 
). En el instante inicial la velocidad es igual a cero.
1.Encuentre la evolución de la velocidad respecto del tiempo en el caso en que no hay resistencia del aire (es decir, cuando 
).
2.Resuelva el problema en el caso general, con 
.
3.Compruebe que el resultado del segundo apartado se reduce al del primero tomando el límite 
.
La fuerza de rozamiento de un cuerpo con un medio fluido se suele modelizar con expresiones del tipo 
, donde n = 1, 2, etc., y 
es la velocidad del cuerpo relativa al medio. Para ponerlo en práctica, imaginaremos un velero de masa que se mueve impulsado por un viento de de velocidad 
(respecto al mar). La fuerza de impulsión se puede considerar como el rozamiento con el aire, con 
y constante de proporcionalidad 
. Consideraremos también la existencia de el rozamiento con el agua, con 
y constante 
.
1.Escribir la expresión de todas las fuerzas que intervienen en el movimiento del velero en función de la velocidad del mismo, siguiendo un convenio de signos coherente.
2.¿Cuál es la velocidad de crucero del velero?
3.Encuentra la velocidad del velero en función del tiempo, suponiendo que comienza parado.
4.Encuentra la posición del velero en función del tiempo, suponiendo que comienza en el origen.
5.Utilizando la solución analítica, verifica que la velocidad de crucero es la calculada en el anterior apartado.
Sobre el velero se aplican cuatro fuerzas: la fuerza de la gravedad, el empujes de arquímedes que lo mantiene a flote, el rozamiento con el aire y la fuerza de impulsión sobre las velas. Las dos primeras se compensan entre si y por tanto no intervienen en el movimiento del velero. Las fuerzas debidas a los dos rozamientos con viento y mar se escriben de la forma,
donde hemos escogido el criterio de que todas las fuerzas son positivas si se dirigen en el sentido del movimiento, y negativas en caso contrario. En la fuerza de rozamiento debida al viento utilizamos la diferencia 
ya que ésta es la velocidad relativa del velero respecto del viento.
La velocidad de crucero se dará cuando las fuerzas de rozamiento con el agua y de impulsión con el viento sean iguales (pero de sentido contrario). Ésto nos da una ecuación de segundo grado,
cuya solución es
La segunda ley de Newton nos asegura que la resultante de las fuerzas, 
, debe ser igual al producto de la masa del velero, , por la aceleración a la que está sometido, 
, es decir,
que no es más que una ecuación diferencial de primer orden para la variable , que se puede separar integrar de forma sencilla. Para realizar la integración de forma más sencilla, completamos el cuadrado perfecto del segundo miembro,
Para simplificar el calculo, definimos una nueva constante
que nos permite simplifica la ecuación para obtener
Podemos integrar esta última ecuación entre el estado final y el inicial. La integración respecto del tiempo es inmediata,
la integración respecto a la velocidad se puede realizar en términos de la función inversa a la tangente hiperbólica,
aislando la velocidad en función del tiempo, obtenemos
Para encontrar la posición en función del tiempo del velero, tan sólo tenemos que realizar la integración de la ecuación (10),
Para realizar la integración de la tangente hiperbólica, debemos tener en cuenta que se define como el cociente entre el seno y coseno hiperbólicos, 
, y que la derivada del coseno hiperbólico no es más que el seno hiperbólico (y viceversa). Por lo tanto, la primitiva de la tangente hiperbólica se puede escribir en términos de un logaritmo,
La velocidad crucero se puede obtener como el límite de la velocidad, eq. (10), cuando el tiempo tiende a infinito. Vemos que, en este límite, la tangente hiperbólica es constante. Si esto no ocurriera, no tendría sentido hablar de velocidad de crucero.
Matemáticamente, el límite de la tangente hiperbólica cuando su argumento tiende a infinito es uno. Por lo tanto,
substituyendo el valor de 
, obtenemos
que es el resultado que esperábamos. Es curioso observar la dependencia de la velocidad de crucero con la velocidad del viento. Para vientos lentos, 
, la dependencia es lineal, y tenemos prácticamente la velocidad del viento, 
. Sin embargo, para velocidades muy grandes, 
, la velocidad de crucero va como la raíz cuadrada de la velocidad del viento, 
.
Sabiendo que el momento lineal de una onda electro magnética és 
donde E es la energía de esta onda y c la velocidad de la luz, calcula la fuerza que ejerce una onda con un flujo de energía de 
sobre una cartulina negra de 3cm de lado, que la absorbe completamente
Considerando una fuerza constante que actúa tan sólo entre 
y 
, con 
mucho menor que cualquier otra escala de tiempos del problema (con lo cual podemos quedarnos, en cada momento, con el primer orden) obtén la función de Green del oscilador armónico amortiguado, con frecuencia natural 
y coeficiente de rozamiento 
. Considerar los tres casos posibles:
1.oscilador sobreamortiguado,
2.amortiguamiento crítico y
3.oscilador infraamortiguado.
Considera un oscilador armónico simple de frecuencia natural 
, el cual se mueve sobre la superficie del suelo, lo que produce una fuerza de rozamiento constante, de valor . El oscilador comienza, en reposo, separado una distancia 
de la posición donde la fuerza de recuperación es nula. Calcula cual será la evolución ulterior del oscilador. Considera iguales las fuerzas de fricción estática y dinámica.
