Problemas de integración por residuos

1
Integración por residuos
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
5
 

Calcular la integral:

(1)
Solución disponible
Tupaka
 
2
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
6
 

Calcular la integral:

(1)
Solución disponible
Tupaka
 

Vemos que la función a integrar es par, por lo que podemos extender la región de integración a todos los reales. Por lo tanto

(1)

Como el integrando tiende a cero cuando , podemos extender el circuito de integración para incluir todo el semiplano complejo superior, esquivando el polo en z=0 por encima, tal y como mostramos en la figura 1.

Circuito de integración
Figura 1. Circuito de integración

Por lo tanto, nuestra integral original será igual a la contribución del polo en , menos la integral en el rizo que se hace para evitar el polo en el origen:

(2)

Por lo tanto,

(3)
3
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
6
 

Calcula la integral

(1)
Solución disponible
dj_jara
 
4
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
7
 

Calcula la integral

(1)

para .

Solución disponible
Tupaka
 
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