Problemas de inducción matemática

Nivel: Primer ciclo

1
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
3
 

Demuestra que, para todo entero positivo n se cumple:

1..

2..

3..

Solución disponible
pod
 
2
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
5
 

Demuestra, para

(1)
Solución disponible
pod
 
3
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
5
 

Demuestra que, para , se cumple

(1)
Solución disponible
pod
 
4
Demostración por inducción
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
5
 

Demostrad por inducción que:

(1)
Solución disponible
arreldepi
 
5
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
7
 

Demuestra la siguiente desigualdad

(1)
Solución disponible
pod
 
6
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
7
 

Demuestra, por inducción, que todas las potencias naturales de seis, , terminan en seis.

Solución disponible
pod
 

Paso 1. Comenzamos la demostración comprobando el primer caso posible, . Como termina en seis, el primer caso es correcto.

Paso 2. Por hipótesis de inducción, suponemos que la proposición es válida para un arbitrario. Que termine en 6 significa que existe un número entero, , tal que

(1)

Paso 3. Haciendo uso de (1), debemos demostrar que la proposición también es cierta para el siguiente número natural, . Es decir, debe existir un número natural tal que

(2)

Partimos multiplicando por 6 la ecuación (1),

(3)

simplificando,

(4)

Podemos descomponer el 36 como , con lo que tenemos

(5)

Comparando con (2) vemos que se debe cumplir . Por las propiedades de multiplicación y suma de números naturales, es un número natural. Esto completa la demostración.

7
Binomio de Newton
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
7
 

Demostrad que se cumple:

(1)
Solución disponible
arreldepi
 
8
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
9
 

Dados demostrar que para todo entero, se cumple

(1)
Solución disponible
pod
 
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