Problemas de inducción matemática

Nivel: Primer ciclo

1
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
3
 

Demuestra que, para todo entero positivo n se cumple:

1..

2..

3..

Solución disponible
pod
 
2
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
5
 

Demuestra, para

(1)
Solución disponible
pod
 
3
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
5
 

Demuestra que, para , se cumple

(1)
Solución disponible
pod
 

Empezaremos por recordar el significado del productorio,

(1)

Paso 1. Debemos comprobar que la igualdad se cumple para el primer valor posible, que en este caso es . En este caso, el productorio sólo tiene un factor,

(2)

El lado derecho de la igualdad es

(3)

Por lo tanto, la igualdad se cumple para .

Paso 2. Por hipótesis, suponemos que la igualdad se cumple para n arbitrario,

(4)

Paso 3. Utilizando (4), debemos demostrar que la igualdad también se cumple para ,

(5)

Comenzaremos desarrollando el productorio de (5),

(6)

Excepto el último factor, el resto son idénticos a los de (4), por lo que podemos simplemente substituir,

(7)

Para continuar, realizamos la suma de fracciones en el término entre paréntesis,

(8)

Utilizando la definición de factorial vemos que , por lo tanto

(9)

que coincide con el valor que esperábamos. Por lo tanto, (5) es cierto si (4) lo es. Esto completa la demostración por inducción.

4
Demostración por inducción
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
5
 

Demostrad por inducción que:

(1)
Solución disponible
arreldepi
 
5
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
7
 

Demuestra la siguiente desigualdad

(1)
Solución disponible
pod
 
6
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
7
 

Demuestra, por inducción, que todas las potencias naturales de seis, , terminan en seis.

Solución disponible
pod
 
7
Binomio de Newton
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
7
 

Demostrad que se cumple:

(1)
Solución disponible
arreldepi
 
8
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
9
 

Dados demostrar que para todo entero, se cumple

(1)
Solución disponible
pod
 
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