Problemas de inducción matemática

Nivel: Primer ciclo

1
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
3
 

Demuestra que, para todo entero positivo n se cumple:

1..

2..

3..

Solución disponible
pod
 
2
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
5
 

Demuestra, para

(1)
Solución disponible
pod
 
3
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
5
 

Demuestra que, para , se cumple

(1)
Solución disponible
pod
 
4
Demostración por inducción
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
5
 

Demostrad por inducción que:

(1)
Solución disponible
arreldepi
 
5
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
7
 

Demuestra la siguiente desigualdad

(1)
Solución disponible
pod
 
6
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
7
 

Demuestra, por inducción, que todas las potencias naturales de seis, , terminan en seis.

Solución disponible
pod
 
7
Binomio de Newton
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
7
 

Demostrad que se cumple:

(1)
Solución disponible
arreldepi
 

Vamos a proceder por inducción:

  • Primero de todo, demostraremos que la hipótesis es cierta para

    (1)

  • Ahora, vamos a suponer que la hipótesis es cierta para

    (2)

    Es decir, si suponemos que la hipótesis es cierta para , debería, también, de ser cierta, para , y eso es lo que vamos a demostrar.

  • Demostrémoslo

    Tenemos que llegar de la hipótesis que hemos supuesto cierta, es decir, , a demostrar que para también lo es. Para ello, primero de todo multiplicaremos en ambos lados de la igualdad por el factor , con lo cual, nos queda:

    (3)

    .

    En el lado derecho de la igualdad, nos aparece enseguida el término n, en cambio, en el lado izquierdo, aplicando la propiedad distributiva nos queda lo siguiente:

    (4)

    Para más comodidad, operaremos durante los próximos pasos con las dos sumatorias por separado, con lo cual, llamaremos:

    y

    Extrameos el primer elemento (A); es decir, sumaremos des de hasta

    (5)

    Extraemos el último término de (B); así que sumaremos des de hasta . Antes, haremos el siguiente cambio de variable:

    (6)

    De manera que, antes de quitarle a (B) el último factor, la sumatoria con el cambio de variable hecho quedaría:

    (7)

    Es decir, que hemos sumado des de hasta , con lo que vemos, que el número de términos sumados es el mismo que antes. Ahora, extraemos de la sumatoria el último término y nos queda:

    (8)

    Por las propiedades de los números combinatorios, sabemos que:

    (9)

    Con lo cual, si reagrupamos (A) y (B), tenemos que:

    (10)

    Como y son variables mudas y tienen el mismo recorrido:

    [ERROR DE LaTeX. Error: 4 ]

    Podemos decir que , si reescribimos la igualdad teniendo esto en cuenta:

    (11)

    Que, si tenemos en cuenta las propiedades de las sumatorias, es:

    (12)

    Por tanto, para completar nuestra demostración, tan sólo tenemos que comprovar que

    (13)

    y sumar de nuevo desde hasta .

    Si desarrollamos los coeficientes binominales, tenemos que:

    (14)

    Como nos interesa tener en el denominador, lo haremos aparecer multiplicando y dividiendo por los términos que faltan en cada fracción, es decir:

    (15)

    Como que:

    y

    Tenemos que:

    [ERROR DE LaTeX. Error: 4 ]
    (16)

    Por tanto, si reescribimos la igualdad anterior:

    (17)

    Y, por último, si introducimos de nuevo el primero y el último término que hemos extraído en (5) y (8) de la sumatoria, volvemos a tener el mismo recorrido, es decir, desde hasta .

    (18)

Con lo cual, a partir del principio de inducción matemática, hemos demostrado que la hipótesis se cumple

8
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
9
 

Dados demostrar que para todo entero, se cumple

(1)
Solución disponible
pod
 
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