Problemas de dinámica de la rotación
Nivel: Primer ciclo
En la cima de una gran esfera fija de radio 
se sitúa una pequeña canica maciza, también esférica, de radio 
y masa 
. La canica parte del reposo y cae por la superficie de la esfera mayor sin deslizar. Calcula:
1.La velocidad de la canica en función del ángulo con la vertical.
2.El ángulo que forma con la vertical en el momento en que deja de estar en contacto con la superficie.
3.La fuerza de fricción en función del ángulo
Un disco uniforme de masa 
, radio y espesor 
rueda sin resbalar sobre una superficie esférica de radio como se muestra en la figura. El movimiento es plano.
1.Encontrar el tiempo para el cuál el radio vector que une el centro del hemisferio esférico con el centro del disco barre un ángulo 
.
2.Encontrar el periodo para el caso en que 
.
Consideramos el sistema de la figura 1.
El bloque inferior se mueve sobre raíles, con rozamiento despreciable. El sistema de los dos bloques y las dos ruedas se mueven hacia la izquierda de forma solidaria con velocidad constante 
. En un instante dado, el bloque inferior colisiona con un escalón, de forma que se frena completamente de golpe. Ambos bloques están hechos del mismo material, y son lo suficientemente largos. La masa del bloque superior es , y la de las ruedas 
. Todos los cuerpos son homogéneos.
1.¿Qué condición debe cumplir el coeficiente de rozamiento entre los bloques y las ruedas para que el bloque superior no deslice sobre ellas?
2.Calcula la velocidad final de cada elemento del sistema.
3.Calcula la variación de energía cinética de cada elemento del sistema.
Tras la colisión con el escalón, el bloque inferior queda completamente parado, pero las ruedas y el bloque superior siguen moviéndose a la misma velocidad, inicialmente. Por lo tanto, entre las ruedas y el bloque inferior aparecerá una fuerza de rozamiento dinámico, 
, que hará que las ruedas empiecen a rodar. Al empezar a rodar, el punto de contacto entre las ruedas y el bloque superior empieza a intentar moverse hacia la izquierda, por lo que aparecerá una fuerza de rozamiento entre ambos cuerpos, tal que se opondrá a dicho movimiento; es decir, irá hacia la derecha sobre las ruedas, y hacia la izquierda sobre el bloque superior.
Comencemos por hacer los diagramas de cuerpo libre para cada cuerpo.
Figura 1. Diagframa de cuerpo libre para el bloque superior. (Haz click para ver la imagen a tamaño real)
Aplicamos la segunda ley de Newton para el movimiento lineal del bloque superior. Utilizamos el criterio que todas las fuerzas hacia arriba o hacia la izquierda son positivas (ojo, normalmente el criterio de signos para el eje horizontal suele ser el contrario). Tenemos, pues
Ambas ruedas son equivalentes, por lo que nos sirve aplicar una única vez la ley de Newton para su movimiento lineal,
Las ecuaciones para las componentes nos dirán el valor de las fuerzas normales,
Esto nos permite calcular el valor del rozamiento entre las ruedas y el bloque inferior,
donde 
es el coeficiente de rozamiento dinámico entre las ruedas y los bloques.
Nótese que no se puede hacer lo mismo con el rozamiento superior, ya que es estático; sólo sabemos que debe ser 
, pero debemos averiguar su valor concreto de otro modo.
Las ecuaciones para las componentes verticales nos dan directamente las aceleraciones,
La última ecuación que nos queda por plantear es la del movimiento circular de las ruedas. El centro de la rotación es el centro de masa, y dado que la masa está repartida de forma homogénea, su momento de inercia es 
, donde es su radio. Tomamos positivo el giro antihorario, con lo cual tenemos
lo que nos da la aceleración angular
Integrando las ecuaciones (5) y (7) podemos encontrar las velocidades de cada cuerpo.
Si el bloque superior no debe deslizarse sobre las ruedas, su velocidad debe ser igual a la velocidad lineal del punto de contacto de las ruedas. El movimiento de dicho punto es la composición de la velocidad del centro de masas de la rueda, 
, y de la velocidad debida a la rotación, 
, por lo que la ecuación de no deslizamiento debe ser
Substituyendo los valores de la ecuación (8), tenemos
Simplificando,
Como hemos dicho, esta fuerza de rozamiento debe ser menor al valor máximo,
Substituyendo (11), tenemos
simplificando, encontramos la condición que debe cumplir 
,
Nótese que la fracción en (14) siempre es menor que uno. El coeficiente estático nunca puede ser menor que el dinámico, por lo que todos los materiales cumplirán esta condición.
El rozamiento inferior seguirá en efecto hasta que el punto de contacto deje de deslizar sobre el bloque inferior, es decir, cuando su velocidad sea cero. Esto se traduce en la condición
Substituyendo los valores en (8)
lo que nos da
que, en términos de los datos del problema,
La velocidad lineal final de la rueda será
La velocidad angular de la rueda será
Vemos que, naturalmente, se cumple la condición de no deslizamiento, 
. Por último, la velocidad del bloque superior es
Podíamos haber anticipado la relación 
, que es consecuencia de las dos condiciones de no deslizamiento. De hecho, la podemos sacar restando las ecuaciones (9) y (15).
Para este último apartado nos basta con substituir. Para las ruedas
Para el bloque superior,
La variación de la energía cinética total es
Considere un cilindro de radio y densidad 
con una perforación cilíndrica de radio 
, tal como se muestra en la figura. El cilindro rueda sin resbalar sobre una superficie horizontal realizando pequeñas oscilaciones en torno a su posición de equilibrio. Encuentre el periodo de las oscilaciones.
