Problemas de inducción matemática

Empezaremos por recordar el significado del productorio,

(1)

Paso 1. Debemos comprobar que la igualdad se cumple para el primer valor posible, que en este caso es . En este caso, el productorio sólo tiene un factor,

(2)

El lado derecho de la igualdad es

(3)

Por lo tanto, la igualdad se cumple para .

Paso 2. Por hipótesis, suponemos que la igualdad se cumple para n arbitrario,

(4)

Paso 3. Utilizando (4), debemos demostrar que la igualdad también se cumple para ,

(5)

Comenzaremos desarrollando el productorio de (5),

(6)

Excepto el último factor, el resto son idénticos a los de (4), por lo que podemos simplemente substituir,

(7)

Para continuar, realizamos la suma de fracciones en el término entre paréntesis,

(8)

Utilizando la definición de factorial vemos que , por lo tanto

(9)

que coincide con el valor que esperábamos. Por lo tanto, (5) es cierto si (4) lo es. Esto completa la demostración por inducción.