Problemas de inducción matemática

Comencemos por desarrollar lo que significa el sumatorio,

(1)

Paso 1. Debemos comprobar que la igualdad se cumple para el primer valor, . En este caso, el sumatorio sólo tiene un sumatorio,

(2)

El lado derecho de la igualdad es

(3)

Paso 2. Hacemos la hipótesis de inducción, es decir, suponemos que la igualdad se cumple para n arbitrario,

(4)

Paso 3. Haciendo uso de (4), debemos demostrar que la igualdad se cumple para n+1,

(5)

Empezaremos, de nuevo, desarrollando el sumatorio,

(6)

vemos que, excepto el último término, el resto del sumatorio es idéntico al de (4), por lo que podemos substituir,

(7)

debemos simplificar el polinomio que aparece en el numerador, . Utilizamos el procedimiento de Ruffini,

(8)

y, por lo tanto,

(9)

y nos queda

(10)

que coincide con (5), por lo tanto si (4) es cierto, también lo es (5). Esto completa la demostración por inducción.