Problemas de Álgebra vectorial
Dados los vectores 
y 
con origen en el punto común 
y extremos A(-1,2,3) y B(2,-1,1) respectivamente, calcular:
1.Producto escalar 
.
2.Producto vectorial 
.
3.Producto vectorial 
.
, halla otra de la misma dirección y sentido contrario, de módulo 3.
La velocidad de un móvil es 
. Una fuerza 
actúa sobre él. Calcula la componente de dicha fuerza en la dirección del movimiento y en la dirección perpendicular a él.
En primer lugar, obtendremos dos vectores paralelos al plano linealmente independientes. Para hacerlo, simplemente restamos los puntos dados por parejas:
Cualquier vector perpendicular al plano debe ser perpendicular a estos dos vectores. Podemos obtener uno de estos vectores simplemente calculando el producto vectorial,
Por la definición del producto vectorial, este vector es perpendicular al plano dado.
El plano que pasa por los tres puntos no alineados 
, 
y 
; entonces su ecuación puede ser escrita como:
Si desarrollamos el determinante por la primera fila:
Llamando
Podemos reescribir (3) como sigue
Que es la ecuación del plano que pasa por los puntos P, Q y R no colineales.
Para el caso particular, dados los vectores A(0,1,1), B(2,1,0) y C(3,0,1), calcularemos los coeficientes a, b, c y d por separado y luego los introduciremos en (4); así
Podemos, por lo tanto, escribir la ecuación del plano 
Volviendo a la expresión general del plano, (4), y tomando dos puntos del mismo y para los cuales se cumple la ecuación, es decir:
Si restamos las expresiones y sacamos factor común nos queda
Y teniendo en cuenta que el vector 
, podemos escribir lo anterior como
Siendo 
y por lo tanto perpendicular al plano, 
. Si aplicamos el resultado obtenido de forma general al plano que teníamos, obtenemos un vector perpendicular a este: 
.
Dados los vectores 
y 
, calcula:
1.El producto escalar de ambos vectores.
2.La proyección de 
, sobre 
3.Las coordenadas de un vector unitario de la misma dirección que
4.Un vector de la misma dirección que y cuyo módulo sea igual a la proyección de sobre .
El producto escalar de dos vectores cualesquiera es igual a la suma del producto de sus coordenadas vstyrdisnsd una a una, es decir, sean 
y 
, en el plano su producto escalar es 
.
Así para los vectores dados tenemos que 
.
, sobre Se define la proyección de un vector 
sobre otro 
como 
, a partir del producto escalar sabemos que 
así podemos escribir que la proyección de un vector sobre otro es:
En el caso particular 
, entonces 
.
En el caso general un vector unitario 
, paralelo a otro no nulo , tenemos que 
y 
.
Para el caso particular y teniendo en cuenta que 
, el vector unitario 
será 
.
y cuyo módulo sea igual a la proyección de sobre .En general y usando los resultados de apartados anteriores, sea 
, donde 
, y por las propiedades de los vectores, multiplicación por un escalar, 
y 
, si tomamos 
, tenemos que
En particular siendo 
y tenemos que
Dados dos vectores y , obtener el vector proyección ortogonal de sobre . Aplicarlo al caso en que [ERROR DE LaTeX. Error: 4 ] , [ERROR DE LaTeX. Error: 4 ] y 
, obtener también la proyección ortogonal de sobre .
Halla el momento con respecto al punto P(0,-1,1) del vector unitario con origen en O(2,2,2) y que es paralelo al vector 
.
