Problemas de Álgebra vectorial
Dados los vectores 
y 
con origen en el punto común 
y extremos A(-1,2,3) y B(2,-1,1) respectivamente, calcular:
1.Producto escalar 
.
2.Producto vectorial 
.
3.Producto vectorial 
.
, halla otra de la misma dirección y sentido contrario, de módulo 3.
La velocidad de un móvil es 
. Una fuerza 
actúa sobre él. Calcula la componente de dicha fuerza en la dirección del movimiento y en la dirección perpendicular a él.
Nota previa: se sobreentiende que las cantidades que aparecen en el enunciado corresponden al sistema internacional de unidades.
Para determinar la componente de la fuerza en la dirección del movimiento (o componente tangencial, debido a que la velocidad posee ese carácter de ser tangente a la trayectoria), podemos comenzar determinando la proyección de la fuerza sobre velocidad, 
, siendo 
el ángulo que forman la fuerza y la velocidad. Recordando que el producto escalar de dos vectores se define como 
, tenemos que
Como 
y 
, tenemos que 
.
Para transformar esta cantidad escalar en un vector que lleve la dirección de la velocidad bastará con multiplicarla por un vector unitario que tenga la misma dirección y sentido que esta última, es decir,
que en nuestro caso será 
.
En consecuencia, la componente tangencial de la fuerza será 
, que en este ejercicio valdrá 
.
Observemos que usando (1) y (2) podemos escribir para la componente tangencial la expresión general
Una vez que conocemos la componente tangencial, encontrar la perpendicular (o normal), que denotaremos por 
, es muy fácil puesto que 
. En definitiva,
Substituyendo los valores del ejercicio, encontramos que 
.
En primer lugar, obtendremos dos vectores paralelos al plano linealmente independientes. Para hacerlo, simplemente restamos los puntos dados por parejas:
Cualquier vector perpendicular al plano debe ser perpendicular a estos dos vectores. Podemos obtener uno de estos vectores simplemente calculando el producto vectorial,
Por la definición del producto vectorial, este vector es perpendicular al plano dado.
El plano que pasa por los tres puntos no alineados 
, 
y 
; entonces su ecuación puede ser escrita como:
Si desarrollamos el determinante por la primera fila:
Llamando
Podemos reescribir (3) como sigue
Que es la ecuación del plano que pasa por los puntos P, Q y R no colineales.
Para el caso particular, dados los vectores A(0,1,1), B(2,1,0) y C(3,0,1), calcularemos los coeficientes a, b, c y d por separado y luego los introduciremos en (4); así
Podemos, por lo tanto, escribir la ecuación del plano 
Volviendo a la expresión general del plano, (4), y tomando dos puntos del mismo y para los cuales se cumple la ecuación, es decir:
Si restamos las expresiones y sacamos factor común nos queda
Y teniendo en cuenta que el vector 
, podemos escribir lo anterior como
Siendo 
y por lo tanto perpendicular al plano, 
. Si aplicamos el resultado obtenido de forma general al plano que teníamos, obtenemos un vector perpendicular a este: 
.
Dados los vectores 
y 
, calcula:
1.El producto escalar de ambos vectores.
2.La proyección de 
, sobre 
3.Las coordenadas de un vector unitario de la misma dirección que
4.Un vector de la misma dirección que y cuyo módulo sea igual a la proyección de sobre .
Dados dos vectores y , obtener el vector proyección ortogonal de sobre . Aplicarlo al caso en que [ERROR DE LaTeX. Error: 4 ] , [ERROR DE LaTeX. Error: 4 ] y 
, obtener también la proyección ortogonal de sobre .
Halla el momento con respecto al punto P(0,-1,1) del vector unitario con origen en O(2,2,2) y que es paralelo al vector 
.
