Problemas de integración
Nivel: Primer ciclo
(siendo 
)
es continua y que 
. Sabiendo que 
, calcule 
.
Sean las integrales
1.Demostrad que 
y que 
2.A continuación,teniendo en cuenta que 
es una función con simetría par,utilizad este resultado para mostrar que
Tenemos que demostrar que
Para ello, vamos a derivar ambas funciones por separado:
Por el primer teorema fundamental del cálculo sabemos que 
, con lo cual
Y, ahora, derivamos 
:
Podemos hacer el siguiente cambio de variable: 
, con el cual, los límites de integración quedan 
. Es decir, que
Ahora, si sumamos f'(x) y g'(x), teniendo en cuenta que u y t son variables mudas (podemos designar a ambas con la letra v), nos queda
como queríamos demostrar.
Ahora bien, si 
, integrando, vemos que
para obtener el valor de la constante, hacemos 
y tenemos que
es decir, que
Con lo que hemos obtenido en el apartado anterior, podemos calcular cuánto vale 
, luego, como 
es una función par, bastará con multiplicar el resultado obtenido por 2 para saber cuánto vale 
.
Sabemos que
Con lo cual
y por lo tanto
Debido a la propiedad simétrica de la función que teníamos como dato:
Sea la función 
definida mediante
Estudiar las asíntotas y la monotonía de . Dibujar aproximadamente la gráfica de .
