Problemas de gravitación universal
Europa es un satélite de Júpiter que tarda 3,55 días en recorrer su órbita, de radio medio 
, en torno a dicho
planeta. Otro satélite de Júpiter, Ganímedes, tiene un período orbital de 7,15 días. Calcula el radio medio de la órbita de
Ganímedes.
El valor de la constante de Gravitación Universal es 
Mercurio describe una órbita elíptica alrededor del Sol. En el afelio su distancia al sol es de 
y su velocidad orbital 
, siendo su distancia al Sol en el perihelio de 
.
1.Calcule la velocidad orbital de Mercurio en el perihelio.
2.Calcule las energías cinética, potencial y mecánica de Mercurio en el perihelio.
3.Calcule el módulo de su momento lineal y su momento angular en el perihelio.
4.De las magnitudes calculadas en los apartados anteriores, decir cuáles son iguales en el afelio.
Datos:
- Masa de mercurio:
, - Masa del Sol
, - Cte. de Gravitación Universal
.
En primer lugar debemos hacernos un esquema de la situación dinámica del planeta. Sobre él se ejerce solamente una fuerza, la fuerza gravitatoria que actúa, además, como fuerza centrípeta, por tanto, y al ser ésta una fuerza central podemos aplicar el Principio de Conservación del momento angular
Por tanto, y desarrollando
De donde concluimos que
Sean 
y 
las energías cinética y potencial respectivamente y 
la energía mecánica. Entonces
El módulo del momento lineal 
referido al perihelio es
El módulo del momento angular 
en la misma posición es
Son constantes, únicamente, el momento angular y la energía mecánica.
Supongamos un planetoide esférico y uniforme de masa 
y radio 
en el cual se ha realizado un pequeño túnel diametral que pasa por el centro. Demuestra que el movimiento de una partícula puntual en el interior de ese túnel es el de un oscilador armónico y halla su período. Considerar que el cuerpo nunca llega a salir del planetoide por las bocas del túnel.
La teoría de la relatividad General predice pequeñas correcciones de la ley de la gravitación universal de Newton. Para un planeta de masa 
viajando a una velocidad 
en una órbita de radio 
, la expresión para la fuerza modificada se puede escribir como
donde 
es la velocidad de la luz y 
.
1.Encontrar que el periodo se puede escribir
2.Mostrar que en cada revolución el planeta avanza un ángulo respecto al caso Newtoniano
3.Aplicar estos resultados a Mercurio y verificar que el avance acumulado de la órbita después de un siglo es de cerca de 43'' de arco. Para el planeta Mercurio: 
(donde ua = unidad astronómica = radio de la órbita terrestre).
