Problemas de gravitación universal
Nivel: Primer ciclo
Supongamos un planetoide esférico y uniforme de masa 
y radio 
en el cual se ha realizado un pequeño túnel diametral que pasa por el centro. Demuestra que el movimiento de una partícula puntual en el interior de ese túnel es el de un oscilador armónico y halla su período. Considerar que el cuerpo nunca llega a salir del planetoide por las bocas del túnel.
La teoría de la relatividad General predice pequeñas correcciones de la ley de la gravitación universal de Newton. Para un planeta de masa 
viajando a una velocidad 
en una órbita de radio 
, la expresión para la fuerza modificada se puede escribir como
donde 
es la velocidad de la luz y 
.
1.Encontrar que el periodo se puede escribir
2.Mostrar que en cada revolución el planeta avanza un ángulo respecto al caso Newtoniano
3.Aplicar estos resultados a Mercurio y verificar que el avance acumulado de la órbita después de un siglo es de cerca de 43'' de arco. Para el planeta Mercurio: 
(donde ua = unidad astronómica = radio de la órbita terrestre).
Igualaremos la fuerza centrípeta y la fuerza de gravitación sobre el planeta
y despejando
Como sabemos que 
y que la tercera ley de Kepler dice que 
, siendo este, el periodo de la órbita Newtoniana, tenemos que
como podemos comprovar, 
es una cantidad pequeña, de manera que podemos utilizar la aproximación 
, quedando el periodo como
y si ahora hacemos la sustitución 
nos queda finalmente el periodo que buscábamos
Como 
, el planeta avanza en el mismo tiempo 
un ángulo 
sobre la misma órbita, con 
igual a su velocidad angular por la diferencia de periodos
y con 
,como digimos en el anterior paso, avanza pues un ángulo
Calcularemos el periodo en función del de la Tierra usando la tercera ley de Kepler
es decir, 
años = 
y , 
(en radianes).
Luego, cada siglo de Mercurio da un número de vueltas 
, por lo que el avance total es
que está muy cerca de los 
que dan las observaciones astronómicas.
Como la órbita de Mercurio es aproximadamente elíptica, este efecto se manifiesta en un avance de su perihelio, fenómeno inexplicable por la física clásica y uno de los grandes éxitos de la relatividad general de Einstein.
