Problemas de gravitación universal
Nivel: Primer ciclo
Supongamos un planetoide esférico y uniforme de masa 
y radio 
en el cual se ha realizado un pequeño túnel diametral que pasa por el centro. Demuestra que el movimiento de una partícula puntual en el interior de ese túnel es el de un oscilador armónico y halla su período. Considerar que el cuerpo nunca llega a salir del planetoide por las bocas del túnel.
Para realizar este ejercicio, en primer lugar hemos de determinar el campo gravitatorio en el interior de cualquier punto del túnel. Al ser un túnel muy pequeño, podemos suponer que el campo será el mismo que existiría si no se hubiera realizado la perforación. Para realizar el cálculo, utilizamos la ley integral de Gauss para el campo gravitatorio,
donde 
es una superficie cerrada, y 
la masa que dicha esfera encierra. Dada la simetría esférica del sistema, la mejor elección posible para es una superficie esférica de radio 
, siendo la distancia a la cual se encuentra el sistema. Sobre ésta superficie, el campo gravitatorio es constante y radial, por simetría, y se puede sacar de la integral. Por lo tanto, nos queda tan sólo la integración del elemento de superficie, que tiene la misma dirección que el campo y por lo tanto no obtenemos componente angular, que como resultado final nos da el área total de la esfera,
Por otra parte, dado que el planetoide es uniforme, su densidad será constante y la masa contenida en la esfera de radio crecerá de forma proporcional al su volumen, es decir, al cubo del radio
Por tanto, la ecuación (1) queda de la forma,
que, simplificando y dando el carácter vectorial en dirección radial, se escribe de la forma
es decir, el campo gravitatorio es proporcional a la distancia al centro de fuerzas y, por lo tanto, la fuerza también lo es,
donde 
es la masa de la partícula que se mueve por el túnel. Ésta no es mas que la fuerza característica de un oscilador harmónico, 
, donde podemos identificar
De la teoría general, sabemos que el período de un oscilador armónico es
por tanto, según la identificación de la ecuación (7) tenemos
La teoría de la relatividad General predice pequeñas correcciones de la ley de la gravitación universal de Newton. Para un planeta de masa viajando a una velocidad 
en una órbita de radio , la expresión para la fuerza modificada se puede escribir como
donde 
es la velocidad de la luz y 
.
1.Encontrar que el periodo se puede escribir
2.Mostrar que en cada revolución el planeta avanza un ángulo respecto al caso Newtoniano
3.Aplicar estos resultados a Mercurio y verificar que el avance acumulado de la órbita después de un siglo es de cerca de 43'' de arco. Para el planeta Mercurio: 
(donde ua = unidad astronómica = radio de la órbita terrestre).
