Problemas de resolución de ecuaciones
La función 
tiene una raíz en 
. Empezando con 
y 
, usar ocho iteraciones del método de la bisección para aproximar la raíz. Tabular el error después de cada iteración, y también las estimaciones del error máximo. ¿El error real siempre es menor que la estimación del error máximo? ¿Los errores reales continúan disminuyendo?
Encontrar la raíz cerca de 
de 
empezando con 
. ¿Cuán exacta es la estimación después de cuatro iteraciones del método de Newton? ¿Cuántas iteraciones requiere el método de la bisección para lograr la misma exactitud?. Tabule el número de dígitos correctos en cada iteracción del método de Newton y observe si se duplican cada vez. La solución correcta es x = 0.49404364.
Para obtener una solución a 
mediante el método de Newton, dada la función diferenciable 
y una aproximación inicial 
, utilizamos el siguiente algoritmo:
En nuestro caso, dada la aproximación inicial y las funciones y 
, para 
iteraciones, tenemos la siguiente tabla de los valores obtenidos:
| N |  |
 |
 |
 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1.000000 | -4.000000 | -1.400000 | 0.714286 |
| 1 | 0.714286 | -1.070682 | -6.901590 | 0.559150 |
| 2 | 0.559150 | -0.230598 | 4.046242 | 0.502159 |
| 3 | 0.502159 | -0.025100 | -3.174613 | 0.494222 |
| 4 | 0.494222 | -0.000545 | -3.060792 | 0.494043 |
En este método iterativo debería cumplirse que el número de decimales de exactitud se duplica en cada iteración. Como podemos comprobar en la tabla, esto se cumple para 
con tres decimales exactos, y 
con seis decimales exactos. La tolerancia alcanzada mediante el método de Newton es de 
. Para saber cuántas iteraciones son necesarias para lograr dicha tolerancia mediante el método de la bisección, con el intervalo 
, hay que encontrar un número entero 
que satisfaga:
por tanto, tenemos
Vemos pues, que para el método de la bisección se necesitarían, aproximadamente, el doble de iteraciones que para el método de Newton.
