Problemas de resolución de ecuaciones

1
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
4
 

La función tiene una raíz en . Empezando con y , usar ocho iteraciones del método de la bisección para aproximar la raíz. Tabular el error después de cada iteración, y también las estimaciones del error máximo. ¿El error real siempre es menor que la estimación del error máximo? ¿Los errores reales continúan disminuyendo?

Solución disponible
nicco
 

De forma general, para hallar una raíz de , dado que es contínua en el intervalo , donde el signo de es opuesto al signo de , esto es , usaremos el siguiente algoritmo del método de la bisección:

 
(Haz click para ver la imagen a tamaño real)
Figura 1. (Haz click para ver la imagen a tamaño real)

A continuación se presenta la tabla con los valores obtenidos para las ocho iteraciones correspondientes:

Iteración
1 1.000000 2.000000 1.500000 8.723130 0.500000 -0.448483
2 1.000000 1.500000 1.250000 3.099005 0.250000 -0.198485
3 1.000000 1.250000 1.125000 3.694997 0.125000 -0.073483
4 1.000000 1.125000 1.062500 0.143442 0.062500 -0.010983
5 1.000000 1.062500 1.031250 -0.256598 0.031250 0.020267
6 1.031250 1.062500 1.046875 -0.059688 0.015625 0.004642
7 1.046875 1.062500 1.054688 0.041094 0.007813 0.003171
8 1.046875 1.054688 1.050781 -0.009492 0.003906 0.000735

Para ocho iteraciones obtenemos , que es el valor de más próximo al valor exacto. El error máximo y el error real para cada iteración vienen dados como sigue:

(1)

Vemos que el error real es siempre de menor magnitud que el error máximo, es decir, se cumple que:

(2)

Además, los errores reales disminuyen con cada iteración ya que cada una de ellas es una mejor aproximación que la anterior al valor exacto de la raíz.

2
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
6
 

Encontrar la raíz cerca de de empezando con . ¿Cuán exacta es la estimación después de cuatro iteraciones del método de Newton? ¿Cuántas iteraciones requiere el método de la bisección para lograr la misma exactitud?. Tabule el número de dígitos correctos en cada iteracción del método de Newton y observe si se duplican cada vez. La solución correcta es x = 0.49404364.

Solución disponible
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