Problemas de mecánica analítica

1
Nivel
Segundo ciclo
Dificultad
5
 

Una semiesfera uniforme de masa y radio se encuentra sobre un plano horizontal. Se coloca en su borde (ver figura) una partícula de masa . Determine mediante el método de los trabajos virtuales la relación entre las masas si en la posición de equilibro .


Figura 1.
Solución disponible
José Adrián C M
 
2
Nivel
Segundo ciclo
Dificultad
6
 

Una varilla, cuyo centro de masa CM la divide en dos partes de longitudes y , se encuentra en equilibrio con sus extremos apoyados sobre dos planos inclinados de ángulos y respecto de la horizontal. Mediante el método de los trabajos virtuales, determine el ángulo que la varilla forma con la horizontal en la posición de equilibro. El rozamiento es nulo.

Solución disponible
José Adrián C M
 
Diagrama de cuerpo libre
Figura 1. Diagrama de cuerpo libre

La única fuerza es el peso (y las dos normales en los extremos, pero debido a su perpendicularidad a los planos que los soportan, los desplazamientos de dichos puntos siempre seran perpendiculares a las normales, i.e. las normales no realizan trabajo).

Si tomamos como origen el punto donde las cuñas se juntan, y ahí dos ejes cartesianos x e y, tendremos que:

(1)

y del dibujo:

(2)

Con el vector posición del centro de masa y siendo:

(3)
(4)

luego

(5)

Si la barra desliza, lo que varían son y :

(6)

Asi, de

(7)

queda

(8)

Necesitamos una relación del tipo para poder dejar nuestra expresión solo en función de .

De la trigonometria vemos que si proyectamos el vector sobre el eje x y sobre el eje y:

(9)

despejando en la primera y substituyendo en la segunda queda:

(10)

o lo que es lo mismo:

(11)

luego

(12)

y ya diferenciando

(13)

si llamamos

(14)

para simplificar, y ya sustituyendo en queda:

(15)

Reorganizando y dividiendo entre :

(16)

y como y finalmente queda

(17)
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