Problemas de mecánica analítica

1
Nivel
Segundo ciclo
Dificultad
5
 

Una semiesfera uniforme de masa y radio se encuentra sobre un plano horizontal. Se coloca en su borde (ver figura) una partícula de masa . Determine mediante el método de los trabajos virtuales la relación entre las masas si en la posición de equilibro .


Figura 1.
Solución disponible
José Adrián C M
 

Podemos identificar 5 fuerzas: los pesos , , y la reacción de sobre ; la reacción de sobre , y la reacción del suelo sobre . Estas tres últimas son las llamadas normales (son fuerzas de ligadura), que vemos geométricamente que no realizan trabajo, pues en caso de moverse el punto de apoyo sobre el cual la normal ejerce la fuerza tanto para como par los desplazamientos virtuales serían perpendiculares a dichas normales.

Del principio de los trabajos virtuales:

(1)

siendo

(2)

y

(3)

Si elegimos como origen el centro de la esfera:

(4)
(5)

donde el que corresponde a la distancia desde el centro geométrico de la semiesfera considerada como esfera total (nuestro origen) al centro de masas de la semiesfera, si su densidad es constante.

Diferenciando las expresiones anteriores:

(6)
(7)

Si introducimos dichos desplazamientos virtuales en la ecuación del principio de trabajos virtuales, queda:

(8)

luego

(9)

y para queda:

(10)
2
Nivel
Segundo ciclo
Dificultad
6
 

Una varilla, cuyo centro de masa CM la divide en dos partes de longitudes y , se encuentra en equilibrio con sus extremos apoyados sobre dos planos inclinados de ángulos y respecto de la horizontal. Mediante el método de los trabajos virtuales, determine el ángulo que la varilla forma con la horizontal en la posición de equilibro. El rozamiento es nulo.

Solución disponible
José Adrián C M
 
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