Considere el sistema de la figura, donde la masa 
kg está obligada a moverse verticalmente según el eje y, mientras que m
kg está obligada a moverse según el eje x, ambas bajo la acción de dos muelles de constantes recuperadoras 
N/m y 
N/m, además de la gravedad (Considere la longitud en reposo de los muelles nula).
1.Calcule la lagrangiana del sistema.
2.Obtenga las ecuaciones del movimiento para las masas.
3.Obtenga la solución general de las mismas y la posición de equilibrio.
4.Escriba la solución sabiendo que inicialmente se parte del reposo con 
m, 
m. Si 
m y 
m, determine la posición de las masas al cabo de 
segundos.
Colocamos el origen de coordenadas en el punto inferior central del diagrama (donde interseccionan las trayectorias posibles de cada masa).
Para 
:
Para 
:
Luego para la energía cinética:
Si escogemos la recta 
como origen para 
tendríamos que la energía potencial gravitatoria total del sistema sería:
Para la energía potencial elástica almacenada en los muelles:
y
donde el alargamiento del segundo muelle sale del teorema de pitágoras.
La Lagrangiana será:
De las ecuaciones de Lagrange:
nos queda:
Para 
:
y
Luego
Para 
:
y
Luego
Tenemos el sistema:
Para (1):
Es una ecuación diferencial de segundo orden homogénea, cuyo polinomio característico es 
.
Definiendo 
nos queda:
siendo 
.
Para (2):
Es una ecuación diferencial lineal de segundo orden (no homogénea pues posee término independiente). Definimos 
. Reorganizando:
Resolvemos la parte homogénea:
siendo 
Para encontrar la solución particular, notamos en la ecuación (17) que tanto el término inohomogéneo como los coeficientes de la parte homogénea son constantes. Esto nos inspira la posibilidad de elegir una solución particular constante, 
. Substituyendo, obtenemos
Por lo que 
queda:
Si en las ecuaciones de movimiento hubiéramos impuesto la condición de equilibrio (
y 
) nos quedarían:
Las condiciones impuestas por el enunciado equivalen a
Para :
por lo que
Para :
por lo que
Si 
m y 
m, para 
, como 
, 
y 
, con 
nos queda:
Como corolario, veamos con el formalismo de Newton que en el equilibrio la sumatoria de las fuerzas en el eje y para la masa 1 es nula. Con los datos 
, luego está en la posición de equilibro, luego el peso de la masa uno más la componente sobre el eje y de la fuerza del muelle dos cuando la segunda masa está en 
tiene que ser igual a la fuerza del muelle uno en dicha posición. En dicha posición la componente de la fuerza elástica del segundo muelle sobre el eje es 
, el peso 
y la fuerza del muelle 1 
lo que vemos que coincide con la suma de las dos anteriores.
