La masa 
de la figura siguiente esta unida a un punto fijo con una vara de longitud fija 
, de forma que puede girar libremente respecto del punto fijo. De la misma forma, la masa 
esta unida a la anterior por otra vara rígida de longitud 
que puede girar libremente, independientemente de la posición de la primera vara. Consideramos que las dos masas pueden moverse tan sólo dentro del plano del papel.
1.Justifica cuantos grados de libertad tiene este sistema. Escribe las ecuaciones que relacionan las posiciones 
y 
con las coordenadas generalizadas más adecuadas para describir el sistema.
2.Escribe el lagrangiano del sistema.
3.Escribe los momentos conjugados.
4.Identifica las cantidades conservadas del sistema.
5.Obtén las ecuaciones del movimiento en el espacio de configuración (formulismo lagrangiano).
6.En la aproximación de ángulos muy pequeños, el péndulo simple se reduce a un oscilador armónico. Demuestra que, en esta misma aproximación, el péndulo doble se reduce al doble oscilador del problema anterior. ¿Cuál es la relación entre las coordenadas generalizadas de ambos sistemas?
Dos masas que pueden moverse en dos dimensiones tienen un total de cuatro grados de libertad, si no consideramos ninguna ligadura. El sistema de la figura 1 esta sometido a dos ligaduras, a saber, que las dos varas permanezcan de longitud constante. Cada ligadura resta un grado de libertad. Así, pues, tenemos tan sólo dos grados de libertad, que quedarán expresados de forma más simple utilizando como coordenadas generalizadas los ángulos 
.
Matemáticamente, podemos escribir las ligaduras del péndulo doble de la forma
Utilizando trigonometría, podemos relacionar de forma trivial las coordenadas originales con los ángulos. Para hacerlo, tomamos el criterio que 
es positiva hacia arriba y 
lo es a la izquierda. Así, pues, tenemos
Por lo tanto, el cambio de variables que nos lleva a las nuevas coordenadas generalizadas es de la forma
El lagrangiano se obtiene restando la energía potencial del sistema a la energía cinética del mismo. La energía potencial no es más que la suma de las energías potenciales gravitatoria de cada masa. Para cada masa, tomamos como origen de potenciales el punto donde esta fijado uno de los extremos de la primera vara.
La energía cinética es la suma de la energía cinética de cada masa,
Así, pues, la función lagrangiana del sistema es
Los momentos generalizados se obtienen simplemente derivando el lagrangiano.
Como vemos claramente en la expresión del lagrangiano, ec. (6), las dos coordenadas generalizadas aparecen explícitamente en el lagrangiano, por lo tanto ninguno de los momentos conjugados es una constante del movimiento.
Por otra parte, la variable tiempo no aparece en el lagrangiano, lo que nos indica que el sistema es conservativo. Por lo tanto, la única constante del movimiento que tenemos es la energía,
Las ecuaciones del movimiento se obtienen a partir de las ecuaciones de Euler-Lagrange,
Para la primera coordenada generalizada tenemos
con lo que la primera ecuación del movimiento es
Para la segunda coordenada generalizada tenemos
juntado resultados, tenemos la segunda ecuación del movimiento
Como vemos, las ecuaciones del movimiento no son lineales y están acopladas, lo cual imposibilita su solución analítica. La única forma de encontrar soluciones a estas ecuaciones es la utilización de métodos numéricos, o bien realizar alguna aproximación.
En primer lugar tenemos que buscar la relación nuestras coordenadas generalizadas (en el límite de ángulos pequeños) y las utilizadas en el caso del doble oscilador armónico, 
, que se miden a partir del punto de equilibrio. La relación será, pues, la misma de la ecuación (3) haciendo la aproximación 
para valores pequeños de x. El resultado que obtenemos es
o, lo que es lo mismo,
Para comprobar que el lagrangiano (6) se reduce al lagrangiano del doble oscilador armónico (problema anterior). Debemos tener en cuenta que 
. Quedándonos hasta segundo orden en las variables (y sus derivadas), tenemos
Reordenando términos, tenemos
Este nuevo lagrangiano, ignorando la constante aditiva, es equivalente al del doble oscilador, problema anterior, haciendo las identificaciones
