Tenemos una masa 
unida a un muelle de constante recuperadora 
, cuyo otro extremo esta fijado a un punto. Otra masa 
está unida a la primera masa mediante otro muelle de constante 
. Todos los muelles cumplen la ley de Hooke. Ambas masas están obligadas a moverse en una única dirección.
1.Justifica cuantos grados de libertad tiene este sistema. Razona cuales son las coordenadas generalizadas más adecuadas para estudiarlo.
2.Escribe el lagrangiano del sistema.
3.Escribe el hamiltoniano del sistema.
4.Identifica las cantidades conservadas del sistema.
5.Obtén las ecuaciones del movimiento en el espacio de configuración (formulismo lagrangiano).
6.Desacopla y resuelve las ecuaciones del movimiento para el caso 
y 
. Aplica la solución general al caso en que las dos masas parten del reposo, la primera en el equilibrio y la segunda desplazada una distancia 
de su posición de equilibrio.
Tenemos dos masas que se pueden mover en una dimensión. No tenemos ninguna ligadura que nos disminuya el número de grados de libertad, por lo tanto seguimos teniendo dos de ellos.
Siempre que tenemos muelles, las coordenadas generalizadas más útiles son las desviaciones respecto de las posiciones de equilibrio de cada una de las dos masas, 
.
La energía cinética total del sistema no será más que la suma de las energías cinéticas de cada masa,
De la misma forma, la energía potencial total será igual a la suma de las energías potenciales de cada muelle. Según la ley de Hooke, la energía potencial de un muelle con constante 
que se ha desviado de su posición de equilibrio una distancia 
es de la forma
El primer muelle se estira (o encoje) según 
. Mediante un sencillo diagrama es sencillo darse cuenta que la elongación del segundo muelle vendrá dada por 
. Por lo tanto, la energía potencial total será
Finalmente, el lagrangiano será
El primer paso para obtener el hamiltoniano es calcular los momentos conjugados,
de donde obtenemos 
. Así, pues, el hamiltoniano del sistema será
aplicando la expresión de las velocidades generalizadas, el hamiltoniano queda de la forma
Como las dos coordenadas generalizadas aparecen explícitamente en el lagrangiano y el hamiltoniano, ninguno de los dos momentos generalizados es una constante del movimiento.
Por otra parte, tanto el lagrangiano como el hamiltoniano no dependen explícitamente del tiempo, por lo que la energía (que, numéricamente, equivale al hamiltoniano) es la única constante del movimiento.
Para obtener las ecuaciones del movimiento necesitamos tan sólo aplicar las ecuaciones de Lagrange,
Para la primera coordenada generalizada tenemos
con lo cual, la primera ecuación del movimiento es de la forma
Realizamos el mismo proceso para la segunda coordenada generalizada,
y, por tanto, la segunda ecuación es
Observemos que las ecuaciones del movimiento pueden escribirse conjuntamente utilizando el lenguaje matricial,
La matriz de coeficientes del sistema, en el caso pedido, puede escribirse de la forma
Los valores propios de esta matriz son
Los vectores propios (modos normales) que diagonalizan la ecuación son
Los modos normales cumplen la ecuación del oscilador armónico desacoplado, con frecuencia 
,
cuya solución es de la forma
Para obtener la solución del sistema en las coordenadas originales necesitamos invertir la definición de los modos normales, (16). El resultado final es
Por último, tenemos que aplicar las condiciones iniciales. Dado que ambas masas parten del reposo, su velocidad para 
debe ser nula. Dado que, al derivar, todos los términos quedaran en función de senos, vemos inmediatamente que 
. La condición inicial para la velocidad se convierte en el siguiente sistema de ecuaciones lineales,
que se puede solucionar mediante los métodos usuales. El resultado final es el siguiente,
