Problemas de inducción matemática

Paso 1. Demostramos que la desigualdad es cierta para n=1,

(1)

realizando las operaciones indicadas, vemos que todos los miembros dan como resultado 2. Por lo tanto, la inecuación para n=1 es cierta.

Paso 2. Suponemos que, por hipótesis, la inecuación se cumple para n arbitrario,

(2)

Paso 3. Utilizando la ecuación (2), debemos demostrar que la inecuación se cumple para n+1,

(3)

Debemos manipular (3) para que se parezca lo más posible a (2). Podemos aplicar las siguientes propiedades,

(4)

Substituyendo en (3),

(5)

Para que el primer miembro se parezca lo más posible al de (2), podemos multiplicar y dividir por n. En el segundo miembro, podemos reconocer directamente la definición de . Por lo tanto, tenemos

(6)

Para continuar, debemos utilizar el siguiente hecho: dados dos cantidades tales que , entonces la relación

(7)

es cierta si . Demostrar este hecho es sencillo. Si , entonces ambos factores cancelan y recuperamos la desigualdad inicial. Si , entonces y (7) se puede reescribir

(8)

Armados con este hecho, podemos ver que la primera desigualdad de (6) es cierta si

(9)

Simplificando los denominadores, esta condición se reduce a , lo cual es obviamente cierto.

Por otra parte, la segunda desigualdad en (6) se cumplirá si

(10)

que se reduce a , que de nuevo es cierto para todo n.