Problemas de hamilton-jacobi

1
Oscilador armónico
Nivel
Segundo ciclo
Dificultad
5
 

Utiliza la ecuación de Hamilton-Jacobi para resolver el movimiento de un oscilador armónico de masa y frecuencia , en una dimensión.

Solución disponible
pod
 

El hamiltoniano del oscilador armónico es

(1)

La ecuación de Hamilton-Jacobi se escribe de la forma

(2)

En este caso concreto, la ecuación de Hamilton-Jacobi toma la forma,

(3)

Dado que el oscilador armónico es conservativo, podemos ensayar la siguiente solución

(4)

donde la energía, E, juega el papel de la constante del movimiento . En estas condiciones la ecuación (3) se escribe de la forma

(5)

donde la prima representa derivación respecto de . A partir de la ecuación (5) podemos aislar la derivada de la función característica en función de las constantes del movimiento y de ,

(6)

de donde obtenemos

(7)

La integral anterior se puede resolver fácilmente, aunque por ahora no lo necesitamos.

Las ecuaciones del movimiento se encuentran mediante las relaciones

(8)
(9)

De la ecuación (8) tenemos

(10)

De la ecuación (9) obtenemos

(11)

de donde podemos aislar la coordenada en función del tiempo

(12)

de donde vemos que un oscilador armónico realiza oscilaciones senosoidales con pulsación y una amplitud proporcional a la raíz cuadrada de la energía total, y con una fase inicial dada por . Por último, utilizando la ecuación (10), podemos encontrar el momento conjugado en función del tiempo,

(13)
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