Problemas de espacios vectoriales

1
Diagonalización
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
7
 

Sea el espacio vectorial de los polinomios reales de grado menor o igual que y sea la aplicación derivación, es decir la aplicación definida, para , mediante .

1.Hallar los autovalores y autovectores de .

2.Sea la aplicación lineal

(1)

Responder razonadamente si es o no diagonalizable.

Problema propuesto en examen final de Álgebra y Geometría, primer curso de Ciencias Físicas, Universidad Autónoma de Madrid. 18 de junio, 1999.

Solución disponible
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1. Hallar los autovalores y autovector de .

Para ello, calcularemos en primer lugar la matriz representativa de dicho operador. Para mayor sencillez, tomemos como base, con respecto a la cual calcularemos la matriz representativa del operador, la canónica de , es decir:

(1)

Donde es una indeterminada cualquiera. Así pues, los transformados de la base son:

(2)

Por tanto, la matriz representativa del operador derivación será:

[ERROR DE LaTeX. Error: 4 ]
(3)

El polinomio carácterístico será pues:

(4)

Nótese que aquí es una indeterminada diferente de la del espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que tres. Se tiene por tanto que el único valor propio del operador es:

[ERROR DE LaTeX. Error: 4 ]
(5)

La multiplicidad algebraica de este único autovalor será 4, evidentemente.

Calculemos ahora los autovectores correspondientes a este autovalor:

(6)

Vemos que en este caso coincide con el núcleo de la aplicación. Por tanto, el espacio de vectores propios estará engendrado por:

(7)

Es decir, el de los polinomios constantes.

2.Responder razonadamente si es diagonalizable.

Para resolver este apartado, procederemos de una manera similar al anterior, calculando en primer lugar los transformados de la base canónica de y estudiando posteriormente la matriz representativa del operador. Por tanto:

(8)

La matriz representativa, por supuesto respecto a , de será pues:

[ERROR DE LaTeX. Error: 4 ]
(9)

Análogamente al apartado (1) del problema, el polinomio característico es:

(10)

Así pues, el espectro del operador es:

(11)

Tenemos que la multiplicidad algebraica del único autovalor del operador es:

(12)

Veamos cuál es su multiplicidad geométrica, recordando que es:

(13)

Sea un vector del espacio cualquiera: (expresado como combinación lineal de elementos de la base canónica). Entonces:

[ERROR DE LaTeX. Error: 4 ]
(14)

Tras resolver el sistema se obtiene que:

(15)

Como las multiplicidades algebraica y geométrica no coinciden:

(16)

no es diagonalizable, esto es, no existe una base de con respecto a la cual la matriz representativa de es diagonal.

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