Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
Nivel: Primer ciclo
Encontrar la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales.
1.
2.
3.
4.
Esta ecuación 
es una ecuación diferencial ordinaria de primer grado homogénea, éstas se definen como 
. Comprovemos que esta ecuación es homogénea:
.
Las ecuaciones diferenciales homogéneas son del tipo 
, con lo cual, un cambio útil es
Lo aplicamos a (1) y nos queda
Y lo que nos queda es una ecuación con variables separables:
Integrando nos queda que
Cuando tenemos una ecuación diferencial del estilo 
podemos imaginar que en el numerador y en el denominador tenemos la ecuación de dos rectas, sabemos que si
dichas rectas se cortan en un punto, es decir, el sistema formado por sus ecuaciones es compatible determinado. El procedimiento a seguir es, primero de todo resolver el sistema y encontrar el punto, luego trasladar los ejes a ese punto, es decir, hacer un cambio de coordenadas que analíticamente se puede entender como un cambio de variable:
el cambio que debemos realizar es
Si aplicamos el cambio a (7) nos queda que:
que (se puede comprobar) es una ecuación homogénea, con lo cual, el cambio [ERROR DE LaTeX. Error: 4 ] es el mejor para proceder:
que es ya una ecuación de variables separables. Reordenando nos queda
la segunda integral era una integral racional. Finalmente nos queda
En este caso tenemos una ecuación del estilo 
, podemos hacer el cambio 
y nos queda
que es una ecuación diferencial lineal de primer orden. La resolveremos de la siguiente manera
).
como una función 
, método que se conoce como 
Ahora regresamos a (18)
si deshacemos el cambio 
nos queda que
Aplicando algunas identidades trigonométricas
finalmente
Tenemos una ecuación lineal en la que falta la 
, es decir 
Haremos el siguiente cambio de variable
Aplicamos estos cambios a (26) y nos queda
que tras integrar
por conveniencia y para ahorrar notación hemos introducido la constante dentro del logaritmo 
.
Trabajando un poco la expresión
y deshaciendo el cambio de variable llegamos a una expresión integrable
La primera integral se puede mirar en cualquier libro de tablas, 
, es decir
Podemos simplificar esta expresión escribiendo anulando los logaritmos con exponenciales y trabajando un poco la expresión nos queda que
Para resolver la ecuación diferencial
1.Obtenga la solución general de la ecuación diferencial homogénea asociada.
2.Demuestre la identidad
donde 
representa la transformada de Laplace.
3.Aplique transformadas de Laplace a la ecuación diferencial original y obtenga, de este modo, una solución particular.
4.Finalice mostrando la solución general obtenida.
