Problemas de análisis en varias dimensiones
Estudiad si 
, donde 
, define la variable 
como función implícita de 
y de 
en un entorno del punto 
. En caso afirmativo, calculad 
y 
.
Sea el cambio de variables dado por
1.Demostrad que el cambio es localmente invertible para todo valor de 
2.Estudiad si, globalmente, el cambio es biyectivo o no
3.Comprovad que
Para que una función sea invertible se tiene que cumplir que sus derivadas parciales sean contínuas y que el determinante de la matriz jacobiana sea diferente de cero en el entorno que la queremos invertir. Esto es lo que nos verifica el teorema de la función inversa para que una función cualquiera sea invertible localmente. Entonces
Como podemos comprobar todas son contínuas. Ahora, vamos a calcular el determinante de la jacobiana:
Teniendo en cuenta que 
, 
, la función será siempre localmente invertible.
Teniendo en cuenta que en los cambios toman parte funciones trigonométricas, tendremos que a partir de un determinado período la imagen se repetirá y, por lo tanto, la función no será biyectiva globalmente.
Para lograr calcular
tenemos que expresar 
e 
. Hagámoslo
con lo cual
Como hemos visto que 
, tenemos que
que es lo que queríamos comprobar.
