En primer lugar, obtendremos dos vectores paralelos al plano linealmente independientes. Para hacerlo, simplemente restamos los puntos dados por parejas:

(1)

Cualquier vector perpendicular al plano debe ser perpendicular a estos dos vectores. Podemos obtener uno de estos vectores simplemente calculando el producto vectorial,

(2)

Por la definición del producto vectorial, este vector es perpendicular al plano dado.

El plano que pasa por los tres puntos no alineados , y ; entonces su ecuación puede ser escrita como:

(1)

Si desarrollamos el determinante por la primera fila:

(2)

Llamando

(3)

Podemos reescribir (3) como sigue

(4)

Que es la ecuación del plano que pasa por los puntos P, Q y R no colineales.

Para el caso particular, dados los vectores A(0,1,1), B(2,1,0) y C(3,0,1), calcularemos los coeficientes a, b, c y d por separado y luego los introduciremos en (4); así

(5)

Podemos, por lo tanto, escribir la ecuación del plano

(6)

Volviendo a la expresión general del plano, (4), y tomando dos puntos del mismo y para los cuales se cumple la ecuación, es decir:

(7)

(8)

Si restamos las expresiones y sacamos factor común nos queda

(9)

Y teniendo en cuenta que el vector , podemos escribir lo anterior como

(10)

Siendo y por lo tanto perpendicular al plano, . Si aplicamos el resultado obtenido de forma general al plano que teníamos, obtenemos un vector perpendicular a este: .