Primero, adelantamos que en la resolución se usará por comodidad el convenio de suma sobre índices repetidos de Einstein.

Dado que las soluciones para la energía son de la forma , el ket de nuestro estado tendrá por componentes (es decir, en la base de vectores propios del hamiltoniano será de la forma):

(1)

o de forma sintetizada, serán todos de la forma

(2)

y su bra correspondiente será pues de la forma

Debemos realizar pues la operación

(3)

Para ello, obtengamos la matriz de posición. Por definición:

(4)

Ahora bien, dado que el operador posición lo podemos escribir como , donde son los operadores de creacción y aniquilación respectivamente, y además sabemos que estos actúan sobre los vectores de la base como sigue:

(5)

y la base de vectores propios del hamiltoniano es ortonormal, se demuestra que la expresión matricial del operador posición es:

(6)

con lo que la ecuación (3) queda

(7)

donde recordemos se está usando el convenio de suma de Einstein. Ahora desarrollemos la expresión: fijémonos en que una delta nos hará colapsar y la otra a , por lo que se puede reescribir el producto de los dos primeros corchetes como:

(8)

Ahora ya, por comodidad visual podemos volver a escribir sumatorios, cambiando el comienzo de la suma de m=0 a m=1 y reescribiendo consecuentemente los índices. Tenemos pues una expresión para el valor esperado del operador posición de la forma:

(9)

Pero en la expresión que buscamos aparecen los módulos de las componentes, por lo que hacemos y y, dado que al hacerlo sale factor común lo que es igual a obtenemos el resultado requerido:

(10)