Figura 1.

Encontraremos primero las ecuaciones de movimiento con la formulación de Lagrange para luego imponer en ellas las condiciones de pequeñas oscilaciones y que éstas sean alrededor de la posición de equilibrio.

Coordenadas y velocidad de :

Debido a la ligadura de rodar sin deslizar , donde el menos proviene de suponer que la apartamos del equilibrio hacia la izquierda tal que la masa quede a la derecha de la vertical que pasa por el radio para concordar con la figura. Así:

(1)

lo que era de esperar por la condición de rodadura, donde es la posición del CM del disco de masa .

Coordenadas y velocidad de :

(2)

con lo que

(3)

Para las energías cinéticas:

tendrá energía cinética de traslación y de rotación. Si suponemos que es rígido:

(4)

(5)

Calculemos el momento de inercia del disco: El tensor de inercia para una distribución continua de masa es:

(6)

Como nos interesa el momento principal de inercia que se corresponde al momento de inercia respecto a un eje perpendicular al disco que pase por su centro, nos queda la integral (si además consideramos que es una distribución continua superficial de masa cuya densidad superficial es constante):

(7)

donde hemos hecho un cambio a coordenadas cilíndricas. Si tenemos en cuenta que de la definición de densidad superficial, queda:

(8)

luego

(9)

tendrá energía cinética de traslación únicamente dada por

(10)

Con lo que

(11)

La energía potencial será

Para :

(12)

Para :

(13)

por lo que

(14)

La Lagrangiana será:

(15)

De las ecuaciones de Lagrange, para nuestra única coordenada generalizada nos queda:

Con lo que

(16)

ahora imponemos

(17)

Luego nuestra ecuación de movimiento se reduce a

(18)

Lo cual es un M.A.S. de frecuencia angular:

(19)

de donde como ;

(20)

Como nota, vemos que si (soporte sin masa) y queda la frecuencia de un M.A.S. hecho por comportándose como un péndulo de pequeña amplitud.