Para que una función sea invertible se tiene que cumplir que sus derivadas parciales sean contínuas y que el determinante de la matriz jacobiana sea diferente de cero en el entorno que la queremos invertir. Esto es lo que nos verifica el teorema de la función inversa para que una función cualquiera sea invertible localmente. Entonces

(1)

Como podemos comprobar todas son contínuas. Ahora, vamos a calcular el determinante de la jacobiana:

(2)

Teniendo en cuenta que , , la función será siempre localmente invertible.

Teniendo en cuenta que en los cambios toman parte funciones trigonométricas, tendremos que a partir de un determinado período la imagen se repetirá y, por lo tanto, la función no será biyectiva globalmente.

Para lograr calcular

(3)

tenemos que expresar e . Hagámoslo

(4)

con lo cual

(5)

(6)

Como hemos visto que , tenemos que

(7)

que es lo que queríamos comprobar.