1
EDO lineal de coeficientes variables
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
7
 
Categoría
Ecuaciones diferenciales ordinarias

Para resolver la ecuación diferencial

(1)

1.Obtenga la solución general de la ecuación diferencial homogénea asociada.

2.Demuestre la identidad

(2)

donde representa la transformada de Laplace.

3.Aplique transformadas de Laplace a la ecuación diferencial original y obtenga, de este modo, una solución particular.

4.Finalice mostrando la solución general obtenida.

Solución disponible
Metaleer
EDO lineal de coeficientes variables
 
Apartado 1.

La ecuación diferencial homogénea asociada es

(1)

Si definimos obtenemos que

[ERROR DE LaTeX. Error: 5 : 882x38]
(2)

Recordando que

(3)

donde .

Apartado 2.

Recordando que

(4)

donde , tenemos como caso particular que

(5)

De esta manera,

(6)

donde . Derivamos y cambiamos de signo:

[ERROR DE LaTeX. Error: 5 : 656x46]
(7)

que es lo que queríamos demostrar.

Apartado 3.

Sustituyendo el resultado obtenido en el apartado anterior, y recordando que

(8)
(9)

tenemos que

[ERROR DE LaTeX. Error: 5 : 1180x37]
(10)

Integrando

(11)

donde no se ha tenido en cuenta la constante de integración porque sólo nos interesa una de las primitivas de . Invirtiendo la transformada obtenemos la solución particular pedida

(12)

Sólo hemos tomado como solución particular ya que la solución particular es única salvo soluciones particulares de la homogénea asociada, y la constante es solución de la homogénea asociada.

Apartado 4.

La teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales nos dice que la solución general de una EDO lineal no homogénea posee estructura de subespacio afín, es decir, la solución general es suma de una solución particular de la ecuación completa más la general de la homogénea asociada. Hemos determinado esta última en el primer apartado, y la particular en el tercer apartado, por lo que podemos concluir que

(13)
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