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Esfera dieléctrica polarizada
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
7
 
Categoría
Campo eléctrico estático

Una esfera dieléctrica de radio está polarizada uniformemente según un vector de polarización . Determinar el vector y el vector en el centro de la esfera.

Solución disponible
Metaleer
 

La filosofía de la resolución del problema consistirá en obtener las densidades de carga ligada e integrar éstas para obtener el campo electrostático, y luego usar la relación entre el desplazamiento eléctrico y la polarización para despejar .

Tenemos que y . Como , no hay densidad volumétrica de carga ligada, y en coordenadas esféricas, . De esta manera, , y tenemos que calcular el campo electrostático debido a esta distribución de carga superficial.

(1)

donde , donde se ha expresado el elemento diferencial de superficie en coordenadas esféricas. Se tiene además que (nos interesa el campo en el centro de la esfera) y . Sustituyendo tenemos que

(2)

Las integrales en y son funciones del tipo y respectivamente, y de esta manera las integrales con respecto a entre y son . Por tanto sólo hay campo en :

(3)

En el SI, , así que

(4)

Sabemos además que , lo que nos permite concluir que

(5)

Se puede demostrar además que este es el valor del campo electrostático en toda la esfera dieléctrica (por tanto el vector desplazamiento eléctrico también toma el valor constante calculado en este problema). El lector interesado tiene la demostración en Introduction to Electrodynamics de Griffiths.

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